淺析“反例教學(xué)”在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

摘 要 從目前來看，數(shù)學(xué)教學(xué)中能力的培養(yǎng)依然集中在解題能力上。如果在高等數(shù)學(xué)的教學(xué)中，能充分利用反例，在講述概念及定理應(yīng)用以及解答一些數(shù)學(xué)問題時，就可以收到事半功倍的效果。適當(dāng)?shù)姆蠢粌H有利于加深學(xué)生對數(shù)學(xué)中諸多概念和定理的理解，而且也有利于優(yōu)化學(xué)生的思維結(jié)構(gòu)，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力。本文就對反例在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用做了深入的論述和分析。

關(guān)鍵詞 反例教學(xué) 高等數(shù)學(xué) 創(chuàng)新

中圖分類號：G424 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

1 反例教學(xué)的內(nèi)涵

數(shù)學(xué)是由兩個大類構(gòu)成的，證明和反例。證明是我們在教學(xué)中經(jīng)常使用的方法，而我們所說的反例指的是，在具體的數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，為了加深學(xué)生的記憶，將比較難以理解的問題簡單化，教師針對這些學(xué)生較容易出現(xiàn)學(xué)習(xí)困難或理解錯誤的知識點上有意設(shè)計答案，用表面上看起來似乎是正確的，但其實是完全錯誤的答案來設(shè)置“陷阱”，待學(xué)生按照預(yù)期跳入陷阱后，教師再根據(jù)學(xué)生所犯的錯誤給出正確的解答，引導(dǎo)學(xué)生得出的正確的答案，這就是反例的教學(xué)方法。反例教學(xué)法實際的教學(xué)中是十分重要的。學(xué)生在這一反向思維的過程中，不但能夠準(zhǔn)確地掌握所要學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識，又能鍛煉自己的邏輯思維能力。本文就從高等數(shù)學(xué)的知識入手，具體探討反例教學(xué)在高等教學(xué)中的運(yùn)用。

現(xiàn)代信息技術(shù)的不斷發(fā)展以及各種現(xiàn)代化的手段工具在學(xué)校教學(xué)中的廣泛運(yùn)用，既給學(xué)校教育帶來了難得的機(jī)遇，也使學(xué)校教育面臨著比之前更多的挑戰(zhàn)。同時，隨著我國課程改革的不斷深入，傳統(tǒng)的教育方式面臨著比之前更多更嚴(yán)峻的挑戰(zhàn)，因此，新的教學(xué)方法在教學(xué)過程中的運(yùn)用就成為這個時代的新要求。

在數(shù)學(xué)的教學(xué)中，很多教師注重對例題的講授，教師將例題的過程完整的呈現(xiàn)給學(xué)生，將答案和思路一并灌輸給學(xué)生，學(xué)生雖然獲得了例題的正確答案，很多時候并不理解解題的思路和過程，在面對相同類型的試題時，往往依然摸不著頭腦，長時間處在這樣的教學(xué)環(huán)境中，只會使學(xué)生越來越厭惡數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)。因此，在數(shù)學(xué)的教學(xué)中要勇于革新，積極運(yùn)用新方法，本文我們就以此為出發(fā)點，尋求數(shù)學(xué)教學(xué)中的反例法。

2 反例教學(xué)在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要性

（1）反例教學(xué)的運(yùn)用可以使學(xué)生更加準(zhǔn)確地理解數(shù)學(xué)基本概念。在數(shù)學(xué)中，概念紛繁復(fù)雜，有很多概念還是十分抽象的。教師在講授這些概念時就面臨一個問題，如何能夠使這些抽象的概念變得生動、具體、易于理解？筆者認(rèn)為，反例教學(xué)就可以在數(shù)學(xué)概念講授時，得到很好的運(yùn)用，從而使學(xué)生對這些抽象概念的理解不斷加深。在實際的概念教學(xué)中，教師最常采用的教學(xué)方法是正面教學(xué)的方法，直接對這些生僻的抽象概念進(jìn)行講授，不但學(xué)生聽得云里霧里，教師也常常會感到力不從心。相反，如果能夠?qū)⒎蠢虒W(xué)引入概念的講解中，通過一些并不符合概念要求的錯誤答案的設(shè)計，引學(xué)生走向錯誤的答案，再幫助他們樹立正確的觀念，通過這種正反的強(qiáng)烈對比，往往能使學(xué)生形成對概念的深刻認(rèn)識。如果教師能夠在數(shù)學(xué)的教學(xué)中有針對性、有目的性地運(yùn)用反例教學(xué)的方法，通過正反兩個方面的強(qiáng)烈對比，激發(fā)學(xué)生對這一概念的深刻記憶，從而加深對學(xué)生對復(fù)雜概念的理解和認(rèn)識。

（2）反例教學(xué)的運(yùn)用可以使學(xué)生對復(fù)雜知識的理解更加深刻清晰。在數(shù)學(xué)中，有很多的問題是比較復(fù)雜的，需要經(jīng)過很多不同步驟的論證才能得出正確答案。根據(jù)數(shù)學(xué)這樣的特點，如果在數(shù)學(xué)教學(xué)中一味地采用正面論證的方式，在面對很多相對復(fù)雜的問題時，不能產(chǎn)生很好的教學(xué)效果，這個時候，就需要教師大膽采用反例教學(xué)的方法。反例教學(xué)的方法是教師為了加深學(xué)生的記憶，將比較難以理解的問題簡單化，針對這些學(xué)生較容易出現(xiàn)學(xué)習(xí)困難或理解錯誤的知識點上有意設(shè)計答案，用表面上看起來似乎是正確的，但其實是完全錯誤的答案來設(shè)置“陷阱”，學(xué)生犯錯之后，教師再根據(jù)學(xué)生所犯的錯誤給出正確的解答，引導(dǎo)學(xué)生得出的正確的答案，教師通過這樣一種正誤之間形成的強(qiáng)烈的比較和反差，給學(xué)生留下深刻的印象，從而避免了學(xué)生再次犯錯，使學(xué)生對所學(xué)知識的理解更加深刻、清晰。

（3）反例教學(xué)的運(yùn)用可以使學(xué)生的思維更加嚴(yán)密科學(xué)。很多大教育家都曾經(jīng)說過，數(shù)學(xué)是一門可以使人的思維變得周密嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)。縱觀很多數(shù)學(xué)的知識，都是可以對學(xué)生形成嚴(yán)密思維起到很好的幫助和訓(xùn)練作用的，也就是說，通過學(xué)習(xí)這些數(shù)學(xué)知識，學(xué)生不但可以拓寬自己的知識面，學(xué)到應(yīng)該掌握的知識，同時也可以使自己抽象思維得到很好的鍛煉，起到了一舉多得的效果。教師在教學(xué)中構(gòu)建恰到好處的反例，可以為學(xué)生提供一個這樣的機(jī)會，不但能夠解決學(xué)生在知識理解上存在的問題，更能使學(xué)生的思維得到很好的鍛煉。

（4）反例教學(xué)的運(yùn)用可以使學(xué)生養(yǎng)成勇于探索的品質(zhì)。我們仔細(xì)翻閱數(shù)學(xué)教材中不難發(fā)現(xiàn)，絕大多數(shù)的數(shù)學(xué)課本中都對每一個問題給出了相對應(yīng)的例題，每一個例題都給出了詳細(xì)的解題過程，如果教師不能在教學(xué)中加強(qiáng)對學(xué)生探索能力的培養(yǎng)，而僅僅按照課本上的例題來進(jìn)行講授，對于學(xué)生思維的培養(yǎng)是十分不利的。這種相對機(jī)械化的學(xué)習(xí)方式不利于形成學(xué)生良好的質(zhì)疑精神和探索精神。而如果教師能夠在教學(xué)過程中適當(dāng)增加一些反例的運(yùn)用，通過制造陷阱，使學(xué)生能夠透過簡單的現(xiàn)象看到事物的本質(zhì)，運(yùn)用多種方法多種手段尋求到正確的答案，從而在不知不覺當(dāng)中訓(xùn)練了學(xué)生敢于質(zhì)疑，勇于探索的精神。通過設(shè)置反例，還可以增加很多教學(xué)的樂趣，在很大程度上調(diào)動學(xué)生的積極性，通過這樣一個探索的過程，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

（5）反例教學(xué)的運(yùn)用可以充分激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心。我們知道，數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)往往是枯燥無味的，因此有很多學(xué)生在面對數(shù)學(xué)，尤其是比較復(fù)雜的數(shù)學(xué)難題時，往往采取逃避的消極態(tài)度，大大降低了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情，從而嚴(yán)重影響了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的成績。造成這一結(jié)果的原因不單單在學(xué)生身上，教師也要承擔(dān)很大的責(zé)任。教師作為教學(xué)活動的主導(dǎo)者，其自身的素質(zhì)，采用的方法，課堂的互動，往往都會對教學(xué)效果，甚至學(xué)生的積極性產(chǎn)生重要影響。因此，在面臨一些較為復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題時，如果教師能夠采用反例教學(xué)的方法，往往能夠產(chǎn)生事半功倍的效果。在最大程度上激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情。

教師在教學(xué)中通過反例的大膽運(yùn)用，常常能夠在最大程度上激發(fā)學(xué)生心中的共鳴，如果這時教師還能夠加上自己生動的講解，與學(xué)生積極的產(chǎn)生互動，就能夠在最大程度上激勵學(xué)生不斷向更深層次探索的決心和勇氣，并將這種欲望很好地與所要教授的知識結(jié)合起來，從而使學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)產(chǎn)生濃厚的興趣，堅定自己學(xué)好數(shù)學(xué)的決心。同時，在很大程度上還能夠培養(yǎng)學(xué)生不畏艱險、勇往直前的良好品質(zhì)。

3 在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中實施反例教學(xué)的注意事項

（1）要在教學(xué)中引入恰當(dāng)?shù)姆蠢?shù)學(xué)教師在選擇反例進(jìn)行教學(xué)的過程中，不但反例的選擇要與教學(xué)的內(nèi)容緊密結(jié)合，還要充分考慮學(xué)生的生理、心理特征、年齡、接受水平以及他們目前掌握知識的結(jié)構(gòu)特點，要充分考慮到所選擇反例的可行性和合理性。同時，還要特別注意的是，教學(xué)反例的引入、講解不能一蹴而就，必須要根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知水平和所掌握的知識以及能力水平逐漸深入地進(jìn)行，要由淺入深，由易到難，將一個復(fù)雜的問題分解為若干個小的問題，逐級逐步地對學(xué)生進(jìn)行引導(dǎo)和教學(xué)。

（2）反例的設(shè)置要具有針對性。反例教學(xué)要想達(dá)到預(yù)期的目標(biāo)和效果，必須要具有針對性。反例的準(zhǔn)確設(shè)置，需要教師具有準(zhǔn)確判斷的能力。教師要對教學(xué)的諸多因素進(jìn)行科學(xué)的分析和判斷，在全方位的權(quán)衡之后，要對那些學(xué)生必須掌握的、但是在實際操作中又容易忽視掉的知識點進(jìn)行有針對性的設(shè)置。可以說，反例設(shè)置的質(zhì)量如何將直接影響學(xué)生對相關(guān)知識點的掌握和運(yùn)用。

（3）學(xué)生針對反例進(jìn)行討論、探究。這一步是教師全面了解學(xué)生的關(guān)鍵，也是課堂教學(xué)中以生為本這一教育理念的重要體現(xiàn)，同時也是教師恰當(dāng)對學(xué)生進(jìn)行點撥、啟發(fā)的前提和依據(jù)。通過學(xué)生的討論和探究，解決問題答案的原因，從而加深對這類知識點的理解。教師根據(jù)學(xué)生發(fā)言情況適當(dāng)進(jìn)行點撥、啟發(fā)，并盡可能由學(xué)生自己得出正確結(jié)論。

（4）師生共同探究反例的正確答案。教師設(shè)置反例，在教學(xué)中運(yùn)用反例的目的，最重要的不是讓學(xué)生犯錯，而是要幫助學(xué)生形成正確的認(rèn)識和理解。因此，教師在學(xué)生落入陷阱，得出錯誤答案之時，要及時幫助學(xué)生認(rèn)識到自己的錯誤點，引導(dǎo)學(xué)生具體分析出現(xiàn)錯誤的原因，并且對學(xué)生所產(chǎn)生的錯誤進(jìn)行歸納總結(jié)，幫助學(xué)生清楚地認(rèn)識到整個知識的演進(jìn)過程。這對于理清學(xué)生的思路，引導(dǎo)學(xué)生形成深刻的正確認(rèn)識，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)密的思維方式，都有十分重要的作用。

（5）教師還要積極引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建反例。教師在進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)時，不但要適當(dāng)?shù)厥褂梅蠢匾氖且朴谝龑?dǎo)學(xué)生構(gòu)建反例。教師在日常教學(xué)中，可經(jīng)常選擇一些典型的數(shù)學(xué)知識或問題，通過創(chuàng)設(shè)問題情景，引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建反例。從實質(zhì)上來說，這其實是為學(xué)生創(chuàng)設(shè)了一種積極探索，不斷創(chuàng)新的良好環(huán)境，因此，我們可以說，構(gòu)建反例的過程其實也是培養(yǎng)學(xué)生思維方式的過程。

4 結(jié)語

總之，教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中如果能夠運(yùn)用反例教學(xué)的方法來建構(gòu)適當(dāng)?shù)姆蠢龓椭鷮W(xué)生理解的話，往往能夠產(chǎn)生意想不到的效果。學(xué)生在這一反向思維的過程中，不但能夠準(zhǔn)確掌握所要學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識，又能鍛煉自己的邏輯思維能力。充分調(diào)動學(xué)生的積極性，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和熱情，讓數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程不再枯燥和痛苦，讓掌握數(shù)學(xué)的知識成為一種樂趣。

參考文獻(xiàn)

[1] 張慧.樣例在泛函分析教學(xué)中的應(yīng)用[J].高師理科學(xué)刊，2008（1）.

[2] 王培德.數(shù)學(xué)思想應(yīng)用及探索：建構(gòu)教學(xué)[M].北京：人民教育出版社，2007.

[3] 曹一鳴，張生春.數(shù)學(xué)教學(xué)論[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2010.8.1.

[4] 劉福寶.反例函數(shù)在數(shù)學(xué)分析中的作用和構(gòu)造[J].科技創(chuàng)新導(dǎo)報，2009（11）.

[5] 薛迎杰.淺談反例在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用[J].中國校外教育，2010（4）.

[6] 馬建珍.反例在數(shù)學(xué)分析中的作用[J].宜賓學(xué)院學(xué)報，2006.6.

[7] 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2001.

[8] 王亞輝.數(shù)學(xué)方法論：問題解決的理論[M].北京：北京大學(xué)出版社，2007.12.

[9] 孫清華，鄭小姣.高等數(shù)學(xué)內(nèi)容方法與技巧（上）[M].武漢：華中科技大學(xué)出版社，2004.1.