破解解析幾何中的最值問題

摘 要 解析幾何中的求最值問題在數學中占有一席之地，涉及的知識面寬，遍及代數、立體幾何等各學科。用幾何方法求最值是一類既富思考情趣，又融眾多知識和技巧于一體，綜合性強、靈活性高、難度頗大的題型，本文從代數、三角、幾何等方面探討了求解析幾何中最值問題的策略。

關鍵詞 破解 幾何 最值問題 代數

代數和幾何是兩門不同學科，歐幾里得把代數問題用幾何來解決，笛卡兒卻用代數方法去解決幾何問題。因此，解析幾何是用代數方法研究幾何圖形的一門學科，學習解析解析幾何必須掌握的基本思想就是通過坐標法將幾何圖形轉化為方程，通過對方程的研究達到研究幾何圖形的目的，這一思想要貫穿在解析幾何學習之中，這包含兩方面，一是“以數論形”，即通過解方程、解不等式，明確它的幾何意義；另一面是 “以形釋數”，即通過圖形性質的研究，明確它所對應的代數意義。

1 用代數方法求解幾何最值策略

在處理解析幾何中最值問題時，若目標與條件具有明確的互動函數關系時，可以考慮用代數方面的知識點來解決。

1.1 利用二次函數求最值

利用二次函數的性質求最值要注意到自變量的取值范圍和對稱軸與區間的相對位置關系，必要時必須分類討論。

例 若橢圓上點到定點的距離最短是1 ，則實數的值是多少？

1.5 利用三角函數有界性求最值

例 設點為上的動點，則點到直線 = 0的距離的最小值是_______

分析：由圓的參數方程求出到直線的距離，再由三角函數的有界性求出。

解：由圓的參數方程可設圓上任意一點，點到直線的距離， = = ，因為15≤≤5

所以||≥5，故≥1，所以點到直線的距離的最小值為1。

2 用主元變換思想求解幾何最值策略

利用三角函數求最值要有主元變換思想，根據三角恒等變換的性質及公式把復雜的三角函數化為單一三角函數。

例 已知滿足，則的最小值是？