一道考題的啟示

【中圖分類號(hào)】G642 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】B 【文章編號(hào)】2095-3089（2012）23-0247-02

已知f（x）=Inx+In（2-x）+ax（a>0）

①當(dāng)a=1時(shí)，求f（x）的單調(diào)區(qū)間。

②若f（x）在（0，1]上的最大值為12，求a的值。

在閱卷過(guò)程中，我有機(jī)會(huì)見(jiàn)識(shí)了同學(xué)們各種各樣的正確解法和錯(cuò)誤解法。下面我把閱卷過(guò)程中出現(xiàn)的解法和諸位一同來(lái)分享：

先看第1問(wèn)的正確解法：f ′（x）=1x+1x-2+1

=x+2（x-2）x（x-2）

∵0

在（2，2）上↓

錯(cuò)誤解法1：f ′（x）=1x+12-x+1

（求導(dǎo)錯(cuò)誤，導(dǎo)致單調(diào)區(qū)間錯(cuò)誤）

錯(cuò)誤解法2：f ′（x）=1x+1x-2+1

=（x+2）（x-2）x（x-2）

∵f（x）在（-∞，-2）↑；在（-2，0）上↓

在（0，2）↑；在（2，2）上↓；在（2，+∞）上↑。

（忽略定義域求單調(diào)區(qū)間）。

求一個(gè)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間應(yīng)該是一個(gè)簡(jiǎn)單的問(wèn)題，但有相當(dāng)多的同學(xué)出現(xiàn)了上述的錯(cuò)誤，顯然第一種錯(cuò)誤的出現(xiàn)是考生對(duì)復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的求法沒(méi)掌握造成的。第二種更是同學(xué)們屢考屢犯的錯(cuò)誤——忽略定義域研究函數(shù)的單調(diào)性，這給我教學(xué)一線的老師很大的啟示：我們平時(shí)教學(xué)中，要注重基礎(chǔ)知識(shí)，重視解題細(xì)節(jié)，對(duì)典型錯(cuò)誤要深入剖析，讓同學(xué)們從中總結(jié)教訓(xùn)，留下深刻印象，避免屢考屢犯的錯(cuò)誤出現(xiàn)。

本題第二問(wèn)的出現(xiàn)的解法就更加多了，請(qǐng)看下列解法：

解法1：f ′（x）=1x+1x-2+a

=2（x-）x（x-2）+a

∵x∈（0，1] ∴2（x-1）x（x-2）=>0又a>0

∴f ′（x）>0在（0，1]上恒成立

∴f（x）在（0，1]上↑ ∴f（x）max=f（1）=a=1/2

這種解法毫無(wú)疑問(wèn)是本題最快捷的解法，但事實(shí)上真正這樣解的同學(xué)簡(jiǎn)直是鳳毛麟角。絕大多數(shù)同學(xué)是這樣解的：

解法2：f ′（x）=1x+1x-2+a

由①知f（x）在（0，2）上↑

∴f（x）在（0，1]上↑ f（x）max=f（1）=a=12

這種解法顯然錯(cuò)誤。第一問(wèn)a=1，而第二問(wèn)中a>0，仍然套用第一問(wèn)的結(jié)論是錯(cuò)誤的。出現(xiàn)這種錯(cuò)誤的同學(xué)應(yīng)該是審題不清造成的。

更令人想不到的是以下解法：

解法3：f ′（x）=1x+1x-2+a

=ax2+（2-2a）x-2x（x-2）

這樣一通分，f ′（x）>0還是f ′（x）<0呢？

f（x）在（0，1]上的單調(diào)性就很難判斷了，相對(duì)于解法1，這顯然把問(wèn)題復(fù)雜化了，接下去怎么解呢？請(qǐng)看：

①令g（x）=ax2+（2-2ax）x-2 （a>0）

∵g（0）=-2<0

g（1）=-a<0

∴g（x）=ax2+（2-2a）x-2<0 在x∈（0，1]上恒成立

又x（x-2）<0 ∴f ′（x）>0在（0，1]上恒成立

∴f（x）在（0，1]上↑ f（x）max=f（1）=a=1/2

②f ′（x）=ax2-2-4a2+42a=0

得x1=2a-2-4a2+42=a-1-a2+1a=<0

x2=2a-2-4a2+42a=a-1+a2+1a<1

∵x1，x2均不在（0，1]上 ∴f（x）在（0，1）上↑

∴f（x）max=f（1）=a=12

這兩種解法雖然復(fù)雜，但也是正確的。但更多的同學(xué)通分后已經(jīng)迷失解題的方向，開始胡亂討論一通。請(qǐng)看：

f ′（x）==ax2+（2-2a）-2x（x-2）

①當(dāng)0

②當(dāng)a≥1時(shí) f（x）在（0，1]上↑ ∴f（x）max=f（1）=a=12（舍去）

這種討論顯然是多此一舉，只要a>0， f（x）在（0，1]上顯然是遞增的，為什么還要分情況討論呢？

閱完卷后，我認(rèn)真總結(jié)了自己平時(shí)的教學(xué)工作。并從中得到了一個(gè)重要啟示：高中函數(shù)教學(xué)一定要培養(yǎng)有兩種意識(shí)—范圍意識(shí)和參數(shù)意識(shí)。一、任何一個(gè)函數(shù)問(wèn)題脫離范圍來(lái)研究都毫無(wú)意義，確定范圍是解決任何函數(shù)題的前提，所以我們的學(xué)生一定要養(yǎng)成先定范圍后做題的習(xí)慣。二、函數(shù)中若含有參數(shù)就要考慮參數(shù)的范圍是否影響該函數(shù)問(wèn)題的結(jié)果，若有影響就要對(duì)參數(shù)討論，若無(wú)影響就不討論。這就是參數(shù)意識(shí)。我們的同學(xué)所犯錯(cuò)誤就是缺乏這兩種意識(shí)造成的。