抽象函數(shù)周期性問題的探究

【摘 要】 抽象函數(shù)是高中數(shù)學的一個難點，也是高考重點考查內(nèi)容，本文主要介紹了求抽象函數(shù)周期的常見的方法與技巧。

【關鍵詞】 抽象函數(shù)；周期性； 對稱性

【中圖分類號】G632 【文獻標識碼】B 【文章編號】2095-3089（2012）23-0244-01

與有明確解析式的函數(shù)相比，抽象函數(shù)特指那些沒有給出具體的函數(shù)表達式的函數(shù)，，它只是給出函數(shù)的一些特征、性質(zhì)或一些有特殊關系的式子的，所以求解抽象函數(shù)的問題需要有嚴密的邏輯思維能力和豐富的想象力以及函數(shù)綜合知識靈活運用的能力和技巧，.對于抽象函數(shù)周期性的判定和運用比較困難。所以特別探究抽象函數(shù)的周期性問題很有必要。抽象函數(shù)的周期性也是高考常見的考點，尋找函數(shù)的周期是解決問題的關鍵所在，下面重點介紹幾種常見的求抽象函數(shù)周期的方法：1 若函數(shù)在其定義或內(nèi)滿足，f（x）+f（x+a）=0（a≠0），其中a為常數(shù)，則函數(shù)的周期T=2a

證明：f（x）+f（x+a）=0（a≠0）可得f（x）=-f（x+a），可以推出f（x+a）=-f（x+a+a），即f（x）=f（x+2a），即函數(shù)的周期為T=2a

例：設函數(shù)f（x）是的R上奇函數(shù)，且y=f（x）的圖象關于直線x=12對稱，求f（0）+f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）的值

解：因為y=f（x）的圖象關于直線x=12對稱，所以f（x）=f（1-x）

又因為f（x）是的R上奇函數(shù)，有f（1-x）=-f（x-1）代入上式，可得f（x）=-f（x-1），f（x）+f（x-1）=0所以y=f（x）的周期為T=2，再令x=12代入f（12+x）=f（12-x）得f（1）=f（0）=0

故f（0）=f（2）=f（4）=0，f（1）=f（3）=f（5）=0

所以f（0）+f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）=0

二、若函數(shù)y=f（x）關于直線x=a對稱，也關于x=b（a≠b）對稱，則函數(shù)的周期為T=2（b-a）

證明：因為函數(shù)y=f（x）關于直線x=a對稱，也關于x=b（a≠b）對稱，所以函數(shù)y=f（x）滿足f（x）=f（2a-x），f（x）=f（2b-x），即f（2b-x）=f（2a-x）可以推出f[x+2（b-a）]=f（x），所以周期T=2a

例（2005年廣東高考題）：函數(shù)y=f（x）在（-∞，+∞）上滿足f（x+2）=f（2-x），f（x+7）=f（7-x），且在閉區(qū)間【0，7】上只有f（1）=f（3）=0

（1）討論函數(shù)的奇偶性

（2）求方程f（x）=0在閉區(qū)間[-2005，2005]根的個數(shù)

解析：（1）函數(shù)y=f（x）在（-∞，+∞）上滿足f（x+2）=f（2-x），f（x+7）=f（7-x），即x=2和x=7是y=f（x）的兩條對稱軸，且在閉區(qū)間[0，7]上只有f（1）=f（3）=0，即f（0）≠0，f（7）≠0，故函數(shù)y=f（x）不是奇函數(shù)，由對稱性，由f（1）=f（3）=0可知f（11）=f（13）=0且f（-7）=f（-9）=0，而f（7）≠0。所以y=f（x）也不是偶函數(shù)

故y=f（x）不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)

（3）由公式知上述函數(shù)的周期T=2（b-a）=2（7-2）=10。因為y=f（x）閉區(qū)間[0，7]上只有f（1）=f（3）=0，f（11）=f（13）=0，f（-7）=f（-9）=0且周期為10，故方程在區(qū)間[0，10]和[-10，0]上都有兩個解（分別為1，3和-7與-9）從而方程f（x）=0在[0，2005]上有402個解，在[-2005，0]上有400個解，即在[-2005，2005]上共有802個解。

3 若f（x）=Mf（x+a）（其中M均為常數(shù)）恒成立，則其周期為T=2a

證明：由f（x）=Mf（x+a）得f（x+a）=Mf（x+2a），即f（x）=f（x+2a），所以y=f（x） 的周期為T=2a

例（2009年江西高考改編題）：已知函數(shù)f（x）是（-∞，+∞）上的偶函數(shù)，若對于x0都有f（x）=1f（x+1），且當x∈[0，2）時，f（x）=log2（x+1），則f（-2008）+f（2009）的值為（ ）

A.-2 B.-1 C.1 D.2

解析：由f（x）=1f（x+1），知f（x）的周期為T=2，f（-2008）=f（2008）=f（2×1004）=f（0）=0，f（2009）=f（2×1004+1）=f（1）=1

所以f（-2008）+f（2009）=1，故答案先B4 分式遞推型，若f（x+a）=f（x）+1f（x）-1，則函數(shù)的周期為2a

證明：f（x+2a）=f（x+a）+1f（x+a）-1=f（x）+af（x）-1+1f（x）+1f（x）-1-1=f（x），所以函數(shù)的周期為2a

例：已知函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）上滿足關系式f（x+2）=1+f（x）1-f（x），若f（1）=2+3，求f（2013）的值。

解析：由f（x+2）=1+f（x）1-f（x）得f（x+2+2）=1+f（x+2）1-f（x+2）=1+1+f（x）1-f（x）1-1+f（x）1-f（x）=1-f（x），即f（x）=-1f（x+4）=f（x+8），所以函數(shù)的周期T=8

所以f（2013）=f（251×8+5）=f（5）

又f（5）=1-f（1）=-12+3=3-2

所以f（2013）=3-2

5 函數(shù)的周期性與奇偶性的綜合題探究

例：已知f（x）是定義在（-∞，+∞）上的偶函數(shù)， f（x）= f（4-x），且當x∈[-2，0]時，f（x）=-2x+1，求當x∈[4，6]時，求f（x）的解析式

解：因為f（x）是偶函數(shù)，由題意知f（x）=f（4-x）=f（x-4），所以函數(shù)的周期為T=4

當x∈[0，2]時-x∈[-2.0]∴f（-x）=2x+1

∵f（x）是偶函數(shù)∴f（-x）=f（x） ∴f（x）=2x+1，其中x∈[0，2]

當x∈[4，6]時，（-4+x）∈[0，2]∴f（-4+x）=2（-4+x）+1=2x-7

又函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，f（x）= f（4-x），知函數(shù)f（x）的周期為4

故f（-4+x）=f（x）

∴當x∈[4，6]時求f（x）=2x-7

除了上述種題型與解法外，還有幾個與之相關推論，很容易證明，請讀者自證：

① 函數(shù)y=f（x）滿足f（x+a）=f（x+b），則f（x）是周期函數(shù)，則|a-b|是它的一個周期.

② 函數(shù)圖象關于點A（a，0）和點B（b，0）對稱，則函數(shù)y=f（x）是周期函數(shù)，則2|a-b|是

它的一個周期.

③若函數(shù)圖象關于直線x=a，和點N（b，0）對稱，則函數(shù)y=f（x）是周期函數(shù)，則4|a-b|是它的一個周期.

④若a是非零常數(shù)，對于函數(shù)y=f（x）定義域的一切x，滿足下列條件之一，則函數(shù)y=f（x）是周期函數(shù)：

若f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，其圖象關于直線x=a對稱，則f（x）是周期函數(shù)，且2a是它的一個周期；

若f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，其圖象關于直線x=a對稱，則f（x）是周期函數(shù)，且4a是它的一個周期.