也談“理解題意”

【摘 要】 理解題意絕不僅僅是分清已知條件和要求的結論，而是有豐富的內涵。本文在揭示其內涵的同時，筆者根據多年的教學經驗，還就如何培養學生理解題意方面談幾點建議：習慣的養成決非朝夕之功，需要的是耐心與有計劃。先易后難，層層推進。注重典型例題的解剖。

【關鍵詞】 理解題意； 內涵；建議

【中圖分類號】G632 【文獻標識碼】B 【文章編號】2095-3089（2012）23-0221-02

理解題意，就是人們常說的審題，它是正確合理解答習題的前提。經常聽到教師要求自己的學生接到數學題后要仔細閱讀，確切理解題意。然而具體該怎么辦？卻往往沒有下文。似乎分清了已知條件和要求的結論，就是理解題意了。筆者認為數學解題中的理解題意絕不僅僅如此，而是有其豐富的內涵，只有明白了其內涵，并在日常教學中刻意加以培養，才能高效地提高學生的數學素養。

1 理解題意的內涵

理解題意除了上文言及的分清已知條件和要求的結論外，一般的，還包括以下幾個方面。

1.1 弄清題意中關鍵詞語和術語的含義

例1. 一個點到圓的最小距離為2，最大距離為7，求此圓的半徑。

審題時，先要明了什么叫做點到圓的距離，在注意到“最小距離”、“最大距離”及其幾何意義外，還要考慮到這一點可在圓內，也可在圓外，因而正確的答案是2.5或4.5。

例2. 已知BD是等腰三角形ABC一腰AC上的高，∠DBA=600，求此三角形三內角的度數。

審題時不僅要注意“高” 的概念 ，還要注意是“一腰AC”上的高。因此答案是300，750，750（圖一）；1500，150，150（圖二）；300，300，1200（圖三）而不能是600，600，600（圖四）。

在審題時，我們常常遇到“不大于”，“不可能有”，“至少有”，“當且僅當”，“確定”等等詞語，對它們涵意的確切理解，往往是解題的關鍵。

2 注意挖掘題中的隱含條件

例3. 若關于x的一元二次方程（m-1）x2+5x+m2-3m+2=0的常數項為0，求m的值。

我們在令m2-3m+2=0時，就要注意m≠1，因為題目已指明是關于x的一元二次方程。

例4.（2010嵊州）已知m、n是方程x2-2x-1=0的兩根，且（7m2-14m+a）（3n2-6n-7）=8，則a的值為（ ） 。 A -5 ， B 5 ， C -9 ， D 9。

此題如果展開用根與系數的關系去解，則相當繁雜，如果挖掘題中隱含條件：m2-2m-1=0 ，n2-2n-1=0則容易得：

[7（m2-2m-1）+7+a][3（n2-2n-1）+3-7]=（a+7）（-4）=8

∴=-9，從而選C。

隱含條件是多種多樣的，不同的題意有不同的隱含條件。在理解題意時，根據需要挖掘這些隱含條件將大大有利于問題的解決，有時甚至起到事半功倍的作用。

3 把語言信息翻譯成符號信息

例5. 3個實數a、b、c滿足1a+1b+1c=1a+b+c，求證這3個數中必有兩個互為相反數。

若將“3個數中必有兩個互為相反數” 翻譯成符號語言（a+b）（b+c）（c+a）=0，這就為我們解題指明了方向。

在“翻譯”時要注意變換的“等價性”，否則將導致錯誤。

例6. 方程x2+（k+4）x+2k+8=0的兩根都大于2，求實數k的變化范圍。

若設定方程兩根為x1、x2，千萬不能“翻譯”成x1+x2>4且x1x2>4，（比如有反例1+5>4，5×1>4 但1<2）而應翻譯成（x1-2）+（x2-2）且（x1-2）（x2-2）（x2-2）>0。

4 根據題意和需要畫圖、列表

根據題意畫圖或列表，可以加深對題意的理解，使題意更加具體形象，從而有利于我們對題目的分析。比如例2就是。那么為什么說“需要”呢，不同的人有不同的潛質，若閱讀題目后對整個問題了然于胸，畫圖就不必要了，這一點在教學列方程解應用題時，想必大家都有體會。

近年悄然興起圖解法，我們不能不留意。

例7. 甲、乙兩名運動員在長為50的游泳池中來回游泳，甲的速度為1/，乙的速度為0.5/，若他們分別從泳池兩端出發來回共游了5分鐘，如果不計轉向時間，那么在這段時間內，他們一共相遇幾次？

答案是5次，其中3次相遇在途中，理由請看右圖。事實上類似題目在新疆的中考題中出現過。

2 幾點教學建議

理解題意是與學生諸多素質聯系在一起的，比如閱讀理解能力，分析推理能力、觀察想象能力……，提高學生的理解題意的水平，用時尚的話來說，這是個系統工程，不過作為一個數學老師來說，至少以下幾點教學建議是可以試一試的。

2.1 習慣的養成決非朝夕之功，需要的是耐心與有計劃。 仔細閱讀，確切理解是認真審題的良好習慣，而習慣的養成不是一蹴而就，決非朝夕之功。現在一些同學將快速閱讀遷移到數學解題中，接到一道數學題喜歡快速閱讀，跳躍式閱讀，只求“大概”，不求甚解，這顯然是不利于數學解題的。為此筆者強調，若遇到較簡單的習題時，力求第一遍就正確理解，準確翻譯。比如試證等腰梯形的對角線相等的逆命題，就要求先明白：求證的是對角線相等的梯形是等腰梯形，然后畫圖，再將文字語言翻譯成數學語言。若遇到冗長的（如今這樣的題目越來越常見），則可先快速閱讀，了解題意之大概，然后再仔細閱讀，找出題中的關鍵詞語或術語，挖掘隱含條件，分析一下有無陷阱及陷阱可能之所在。為此課內拋出題目后，一定要先讓學生自己閱讀，然后和學生一起分析理解，讓學生在嘗誤中收獲，或在教師點撥中頓悟。

例8.（2009濰坊） 一個自然數的算術平方根為，則這個自然數相鄰的下一個自然數是 。原是選擇題，筆者特意改為填空題，意在減少暗示。讓學生先說說自己的答案，然后師生共同分析可能收獲更大。

這里說的有計劃，除了平常意義之外，還要注意與教材內容，知識傳授，能力培養有機結合。比如在學習了一元二次方程根與系數關系之后，拋出：

例9. 如果關于x的一元二次方程x2-2kx=2-k2-x有兩個不相等的實數根，并且兩根的平方和等于35，求k值。

發現不少同學只注意到x21+x22=（x1+x2）2-2x1x2=（2k-1）2-2（k2-2）=2k2-4k+5=35k2-2k-15=0，k1=5，k2=-3 為此引導同學們解后反思，討論解法的正確性，指出應先注意到實數根這一條件，得出正確的答案是-3。進而說明韋達定理的普適性（無論有無實數根均成立），又強調仔細審題及反思之必要。

2.2 先易后難，層層推進。 教育心理學告訴我們：隨著學生年齡的增長，理解能力的提高，審題能力隨之快速提升。但初中學生終究孩子氣還很強，尤其是初一，初二的學生。所以教師切不可掉以輕心，畢其功于一役，而是要先易后難，層層推進。設計題目時，還要盡可能考慮到學生的年齡特征。比如隱含條件隱含之深淺的設計，到初三時可適時作個小結。以下一組習題就是在學了二次根式這一章后復習課中用的。

例10.（1）當x為何值時，下列各式才有意義：（1）2-5xx2-4 ；（2）3-x1-x-2

（2）化簡（a-2）8a-2；（希望所有學生都能注意到a-2<0）

（3）已知a+b-2a-1-4b-2=3c-3-12c-5，求a+b+c的值。（希望大多數學生想到配方）

（4）已知x=a-1a，求x+2+4x+x2x+2-4x+x2（本題不僅考慮隱含條件x0，且注意到a-1a>0，∴a1還要考慮在此基礎上，如何化簡較簡便）

（5）已知15+x2-19-x2=2則19-x2+215+x2=

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（此為杭州市中考題）。

除了象上例緊密配合課本的習題外，平時還可拋出如下的一些興趣題：

例11. 同樣兩個數，在左式中做加法，在右式中做減法，如果每個字母代表不同的數碼，你能求出所有的數碼嗎？（簡析：先從加法算式考慮和是四位數，它的首位只能是1，且其前兩位只能是10，于是x=9；再在減法算式中分析，b只能是8（9已被x占有）再注意到a>y，且a+y>8，事實上a+y>10，再作一些嘗試，可得唯一答案是。

例12. 如圖，四邊形ABCD的對角線相交于O，∠BAD=∠BCD=600， ∠CBD=550，∠ADB=500， 則∠AOB的度數為

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。

簡析：易知∠ABD=700，欲求∠AOB，須先求得∠BAO，思路受阻。仔細觀察圖像，并經縝密心算，可知BC、DC分別是ΔABD的兩個外角平分線，C為其交點，因而知AC是∠BAD的平分線，∴∠ BAO=300。從而∠AOB=800。

當然像這樣需較強的觀察能力、邏輯推理能力的習題切不可多，大概以每周一、二題為妥。

2.3 注重典型例題的解剖。 我們知道化歸在解題中的地位舉足輕重，因而解剖典型例題，對學生審題能力、解題能力的提高有事半功倍之效。

例13. 已知 （即本文例10（5））。

顯然整體思想等等解題策略在本題面前已無能為力，為簡便計，考慮換元法，設15+x2=m，19-x2=m，則m-n=2，求2m+n的值，至此似乎又是山窮水盡。分析一下是否還有隱含條件？仔細觀察可以發現：，從而得方程組m-n=2

m2+n2=35，于是本題解法方向已明。

例14（2010杭州） 定義[a，b，c]為函數y=ax2+bx+c的特征數，下面給出特征數為[2m，1，-m，-1，-m]的函數的一些結論。①當x=-3時，函數圖象的頂點坐標是（13，83）；②當m>0時，函數圖象截x軸所得的線段長度大于32；③當m<0時，函數在x>14時，y隨x的增大而減小；④當m≠0時，函數圖象經過同一個點。其中正確的結論有（ ）。

A.①②③④ B.①②④ C.①③④ D.①②③④

命題老師良心大大的好，④最難，所以在4個選擇之中都有④，有些同學就根本不去考慮它的真假，在得出答案B后以為萬事大吉。我偏偏抓住不放，請問：函數圖象經過同一點的涵義是什么？將它翻譯成數學表達式將是什么？你能求出這“同一個點”的坐標嗎？只有這樣通過討論解剖，我們的學生才有了比較深刻的理解，從而若去解2011年的杭州中考23題，設函數y=kx2+（2k+1）x+1 （k為實數）（1）寫出其中的兩個特殊函數，使它們的圖像不全是拋物線，并在同一直角坐標系中，用描點法畫出這兩個特殊函數的圖像。（2）根據所畫的圖像，猜想出：對任意實數k，函數的圖像都具有的特征，并給予證明；（3）對任意負實數k，當x

當然，理解題意除了上文言及的幾個方面，還有各種各樣因素。幾點教學建議還遠遠不夠。只有在教學中繼續摸索探究，才能高效地提高學生的數學素養。

參考文獻

[1] 任樟輝：《數學思維論》，廣西教育出版社，1990年9月第一版.

[2] 張可法：《初中數學解題研究》湖南師大出版社，1999年5月第一版.

[3] 周繼光編：《新課標初中數學解題思維方法》，上海科學普及出版社，2007年第1版

[4] 劉培杰編：《新編中學數學解題方法全書》，哈爾濱工業大學出版社，2010年第1版

[5] 2009年山東省濰坊市中考數學試卷、2010、2011年浙江省各地市中考試題數學卷