一道“探究題”的探究價值

在全面實施素質教育，不斷規范中小學辦學行為的大背景下，學生在校時間大大縮短，每周的數學教學時間只有4節課（高一、二年級）。筆者所在的學校（一所省四星級學校）以導學案為載體，強力推進課堂教學改革，努力進行創設數學“1+1”高效課堂的實驗。究竟什么樣的課堂能被稱為“1+1”高效課堂？作為數學教師，又該如何優質、高效地完成教學任務？筆者就本校的一堂高二數學公開課的片斷做點滴思考，并與廣大同仁交流。

一、問題提出

蘇教版必修5第12頁的第10題（由于篇幅所限，題目略）是一道閱讀題，在本章結束后的復習中，導學案的作者將它改成如下一道例題：

例3 在△ABC中，A=30°，c=10，當a取什么值時，邊長b是唯一的？

由于學情差（普通理科班）及題目比較難，執教者決定讓學生探究。探究的方法被設計成三步：學生自主研究（課前完成，可以利用資料）；小組合作探討；成果展示點評。

二、探求過程

小組1：設∠BAP=30°，點C在射線AP上，以點B為圓心，以a為半徑作圓弧，當a=5時，該圓弧與射線AP相切，則切點為C，此時邊長b=5■，唯一；當a≥10時，該圓弧與射線相交，交點C唯一，此時b值唯一。

師：還有其他的思路嗎？（學生沒有反應。）

小組2：我們組用正弦定理探究，由正弦定理得：sinC=■=■，當a=5時，C=90°，此時邊長b唯一；當a>5時，sinC<1。（下面的不會了。）

師：哪位能來救駕？（留足時間讓學生思考、討論，教師也在緊張地思考。）

生1：在△ABC中，若sinC<1，則C通常有兩解C1，C2（C1≤C2）且C1+C2=180°。又A=30°，所以當C1≤30°時，C2≥150°，不滿足三角形內角和為180°的要求，所以sinC=■≤sin30°即a≥10時，C唯一，從而b唯一。

小組3：由余弦定理得，a2=b2-10■b+100=（b-5■）2+25

所以a2≥25，從而a≥5。（怎么回事呢？）

師：解題的目標是什么？

生：a取什么值時，b值唯一。

師：將a，b看成是變量呢？

生2：由已知可得b2-10■b+100-a2=0，可以視為關于b的一元二次方程存在唯一根，求a的取值范圍。令△=（10■）2-4（100-a2）=0，得a=5，a=-5（舍去）。（學生撓了撓頭，師示意他坐下。）

師：方程在有兩解的情況下，是否一定不滿足b值唯一性的要求呢？

生2：（激動）方程的解是一正一負就滿足b值唯一性要求，因為b>0，再補上：由x1·x2=100-a2≤0及a>0，可解得a≥10。

生3：令f（b）=b2-10■b+100-a2，原問題就變為二次函數f（b）的圖像與x軸的非負半軸有一交點的問題，由f（0）≤0也能解得。

師（進一步點撥）：還有其他的方法嗎？能用數形結合的方法來處理a2=b2-10■b+100嗎？

生4：令g（b）=b2-10■b+100（b>0），y=a2，在同一個坐標系中分別作出它們的圖像，當兩個函數的圖像只有一個交點時，b值唯一。

師：同學們表現得都很積極，以上哪種解法更符合你的思維習慣？（學生回答，一位學生突然提出了下面的思路。）

生5：建立如下圖所示坐標系，兩點間距離得：BC2=（5■-b）2+25，即a2=b2-10■b+100。

師：用解析法同樣可以得到a2=b2-10■b+100，很好！

（然后教師又組織了變式訓練。）

師：當a取什么值時，邊長b存在兩解？

學生齊答：當5

師：在△ABC中，A=150°，c=10，當a取什么值時，邊長b是唯一的？

學生求解，得出答案：當a>10時，邊長b是唯一的。

師：在△ABC中，A=α，c=10，當取a什么值時，邊長b是唯一的？

學生求解，得出答案：若0<α<■，則a=10sinα或a>10，當a>10時邊長b是唯一的；若■≤α<π，則a>10時，邊長b是唯一的。

三、探究價值

1.關于“一題多解”。一題多解，不僅可以通過少量的問題去溝通各部分知識間的聯系，拓寬解題的思路，而且有利于培養學生探究的精神和對數學研究的興趣，達到減負增效的作用，是傳統教學中一種獨特的訓練方法。

2.關于“變式訓練”。變式訓練，就是要觀察數學問題是如何從簡單演變、派生到復雜的。加強變式訓練，對提高思維的辯證能力，拓展解題思維的渠道，促進思維向自覺領悟階段轉變，都具有不可替代的作用。

3.關于“探究過程”。在習題的探究過程中，通過對問題的思考、聯系、推廣，獲取具有一定價值的結論，這是教學中的一項經常性工作。

四、關于“高效課堂”

“1+1”高效課堂，不是教師一廂情愿地死填硬灌，更不是霧里看花的課堂表演。從本節課來看，是在確定學生最近發展區的前提下，教師為幫助學生達成學習目標，運用適當的激勵、引導等教學手段和教學模式，采用小組學習、合作互動方式，追求教學的科學性、有效性和創造性的一個動態的教育科學研究的思想方法體系。