幾個平面圖形的方程

【摘要】本文就幾個常見的平面圖形，從另一種角度展開討論，即用方程的形式描述.方程可以表示曲線，而某些由單純線段或曲段構成的圖形，卻鮮有提及所謂的方程.本文將給出如下的菱形、對角線垂直的四邊形（四段弧線）、矩形、等腰梯形、平行四邊形、正六邊形以及它們之間的聯系，希望取得拋磚引玉的作用.

【關鍵詞】曲線與方程

笛卡爾發明坐標系，將解析幾何引入，由此開啟了數學的新紀元，成為數學史上一次偉大的革命.變量的出現打破了常規思維，數學真正由靜態向動態轉變，數形結合的思維也日漸深入人心.以這種方式研究問題，也說明了事物之間是對立統一關系的.解析幾何將代數與幾何巧妙結合，不論是具體還是抽象問題，方程都始終如影隨形，是至關重要的數學工具.

對于曲線，有多種描述表達方式，而以方程表示卻是最簡單明了與意味深長的了.是的，所以說“意味深長”，是因為方程不僅僅是為解決實際問題而發明.某種意義上，它是人們審美與表達的一種方式，是在紛繁復雜的數學世界尋求美的途徑.許多例子可見一斑.譬如解析幾何的創始人笛卡爾本人便曾用“心形曲線”方程向公主示愛，而成為數學史上的佳話.

數學是一門應用性很強的科學，是一切自然科學的基礎，是科學發展的首要工具.因此，必要關注的是：是否有一定的實際意義？是否有一定的應用價值？是否有一定的普遍用途？

多年以來，尋求坐標系中凸n邊形的一般方程盛行不衰.然而，凸n邊形不像圓錐曲線、擺線、心形線等有明顯的幾何特征，能設點求解得出方程.而對于凸n邊形只能借助于絕對值.問題由此產生.絕對值的操作性較差、實用性較低，在解決一般問題時，首先考慮的是要盡可能地去掉絕對值，而非依靠絕對值.因此，在此問題上，其實際意義不會太大.

誠然，實際意義對于問題的發現、提出、解決、應用有著至關重要的作用.筆者深諳這種實踐思想的重要性.然而，它不該也不會成為人們探究數學的禁錮.我們可以從數學中發現許多神奇而美麗的事物，譬如三角形面積的行列式公式、楊輝三角、蝴蝶定理、圓錐曲線、心形線，從它們的公式圖形等方面審視，可發現美的所在：完備、簡潔、對稱、抽象……如上觀點，對于某些問題，刨根問底追求實際意義、講究應用價值，是沒有太多必要的，而且樹立審美觀對于學習、研究、應用數學的人來講都是不可或缺的內在要求，從這點上講，也是一種現實意義.因此，筆者要強調的是一種數學的美感，一種表達的方式，一種精神的享受.

在此聲明，下文將要提及的菱形、對角線垂直的四邊形、矩形、等腰梯形、平行四邊形都屬于凸四邊形的范疇，以及正六邊形、正八邊形都屬于凸n邊形的領域，之前已經有人給出過一般的方程表達式，并得到了驗證.筆者之所以再一次討論它們，是因為從筆者的角度看，這幾個方程之間有特殊的聯系.而這一點也正是驗證筆者“審美”觀點的關鍵.

一、菱 形

至此，菱形、對角線垂直的四邊形（四段弧線）、矩形、等腰梯形、平行四邊形、正六邊形的方程都已展現，其特殊的聯系也了然于目.限于筆者水平，對于各自的證明無法做到天衣無縫，必然存在或大或小的錯誤，著實無法避免.再者，對于方程的一些實際意義，筆者給出的只是證明圖形的面積以及利用既定公式求簡單圖形的方程，不過筆者相信，其必然有更多更有價值的應用，有待時間的證明.筆者還是要強調，數學不僅是一門應用科學，某種意義上，還是一門審美科學.唯其如此，筆者寫下這篇文章也不負初衷.

【參考文獻】

［1］馮躍峰.平行四邊形的方程.中等數學，1991(3).

［2］馮躍峰.任意凸四邊形的方程.中等數學，1992(11).

［3］楊正義.凸四邊形絕對值方程又一形式.中等數學，1993(2).