構建命題聯想系統 優化解題思維

【摘要】數學解題是有意義的學習過程，經歷解題能夠優化解題思維，完善認知結構.然而，在實際解題中，學生往往走向“思維短路”、停滯不前和“浮想聯翩”、過分發散的兩極.如何形成良好的解題思維，合理發散、合理聯想是數學解題的重要之匙.筆者認為，構建命題聯想系統能夠給學生提供聯想的方向、控制發散的程度，幫助學生培養解題素養.本文主要探討三類對于中學生很重要的命題聯想系統：等價命題聯想系統、下游命題聯想系統、上游命題聯想系統.

【關鍵詞】命題聯想系統；解題思維；等價命題聯想系統；下游命題聯想系統；上游命題聯想系統

數學解題是數學學習的重要環節，也是數學能力培養的重要環節.然而，在應試解題和題海戰術的導向下，數學解題演變成機械的解題操練，甚至走向追求技巧的極端.另外，數學解題過分模式化和程序化，導致學生思維僵滯、狹隘，嚴重限制了學生思維發散的張力.如果把數學解題比作打仗，那么數學基礎知識就是解題者的“兵力”，數學基本方法就是解題者的“兵器”，而調動數學知識、運用數學基本方法的解題思維就是解題者的“兵法”.“兵法”上乘才是制勝法寶，完備的“兵法”體系才是解題的關鍵因素.涂榮豹教授認為：“數學的解題活動主要是利用認知結構（知識結構和思維結構)對抽象的形式化材料進行加工的過程，是數學符號及數學命題在人的大腦里的內部操作過程……”在數學具體解題過程中，通過對題設中的條件、圖形特征以及求解目標分析，從而需要聯想到有關已知的定義、定理、法則等，這時解題者或思維僵滯，或“浮想聯翩”、過分發散.如何擺脫思維偏軌，優化解題思維，是解題者解題制勝的重要之匙.數學解題是有意義的學習過程，經歷解題能夠優化解題思維，完善數學認知結構.在數學解題中需要不斷地轉換，由命題A聯想到命題B，由命題B聯想到命題C……通過聯想，把兩個或多個命題按照一定的需要聯系在一起，深深地印刻在頭腦中，就形成了一個認知結構——命題聯想系統.構建命題聯想系統就是解題者由已知或未知的命題出發，按照數學知識的上、下位關系，合理聯想與之有關的性質、方法、策略、思想、模型等，實現解題思路的轉化.筆者認為，以下三類命題聯想系統對中學生的解題有重要意義.

一、等價命題聯想系統——柳暗花明

數學解題就是發現、溝通已知（條件、前提）與未知（求解、求證、求作、結論）的聯系，然而在數學解題的過程中這種聯系往往是隱蔽的.如果我們對已知或未知作出適當的等價轉換，往往柳暗花明，找到兩者的切合點.

三、上游命題聯想系統——源頭活水

為了得到命題A，尋找命題B，即由命題B可推得命題A，我們把命題B叫做命題A的上游命題，如果命題B，C，D…都可以推得命題A，就可得到命題A的上游命題系統.

譬如，為了證明兩線段相等，可以考慮如下方法：全等三角形對應邊相等，三角形中等角對等邊，等腰三角形的頂角平分線是底邊上的中線，等腰三角形底邊上的高是底邊上的中線，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，平行四邊形對邊相等，平行四邊形對角線互相平分……

構建命題聯想系統不僅能夠整合認知結構，還能優化解題思維.在實際的數學解題中，不論幾何證明還是解代數題，往往需要雙向分析，即從條件出發伸展，由結論出發上溯，這時候，下游命題系統和上游命題系統就會起到重要作用.需要指出的是，命題聯想系統的構建思維主要是發散思維，具有思維的廣闊性和開放性.但是命題聯想系統又具有收斂性和可操作性，因為命題聯想系統一旦形成，就需要歸納、整合、記憶這個認知結構，形成可操作的規律，在解題時適時檢索，找到匹配的命題系統，從而在解題時事半功倍，水到渠成.