數學概念教學的三個關注

【摘要】數學概念是數學知識的基礎，是數學思想與方法的載體，是數學學習的核心.由于高中數學高度抽象、概括的特點，決定著我們在教學中一定要注重體現基本概念的來龍去脈，要引導學生經歷從具體實例抽象出數學概念的過程，并應用它來思考問題、解決問題，從而逐步理解概念的本質.在數學概念教學中一直遵循在體驗概念產生的過程中認識概念、在挖掘概念的內涵與外延的基礎上理解概念、在運用概念解決問題的過程中鞏固概念這樣的三步曲.

【關鍵詞】數學概念教學；認識；理解；鞏固

實踐顯示，學生在解答數學問題時能否順利地得到正確答案往往與對數學概念是否形成正確的理解有關.數學概念是數學知識的基礎，是數學思想與方法的載體，是數學學習的核心.數學概念是反映現實世界的空間形式和數量關系的本質屬性的思維形式，是思維的最基本的單位，是數學教學的基礎和起點.高中數學課程標準指出：教學中應加強對基本概念和基本思想的理解和掌握，對一些核心概念和基本思想要貫穿高中數學教學的始終，幫助學生逐步加深理解.由于高中數學高度抽象、概括的特點，決定著我們在教學中一定要注重體現基本概念的來龍去脈，要引導學生經歷從具體實例抽象出數學概念的過程，并應用它來思考問題、解決問題，從而逐步理解概念的本質，即體現概念教學的三個重要環節：直觀——概括——具體化.正是基于這樣的理念，我在數學概念教學中一直遵循在體驗概念產生的過程中認識概念、在挖掘概念的內涵與外延的基礎上理解概念、在運用概念解決問題的過程中鞏固概念這樣的三步曲.

1.在體驗概念產生的過程中認識概念

龐加萊曾講過這樣一個故事：教室里，先生對學生說“圓周是一定點到同一平面上等距離點的軌跡”，學生們抄在筆記本上，可是誰也不明白圓周是什么.于是先生拿起粉筆在黑板上畫了一個圓圈，學生們立即歡呼起來：“啊，圓周就是圓圈啊，明白了.”圓周是一個發生定義，僅僅給出文字描述，學生還是不知道到底是怎樣一個圖形，需要我們動手操作，給出直觀圖形.這一個故事告訴我們在進行概念教學時，教師應從實際出發，創設情境，提出問題，讓學生覺得有必要學習這個概念；通過與概念有明顯聯系、直觀性強的例子，使學生在對具體問題的體驗中去感知概念，形成感性認識，然后再提煉出本質屬性.正如蘇霍姆林斯基所說的，“領著孩子到思維的源地去旅行是具有重大意義的”；吳慶麟也曾提到，“用熟悉的特征來引發學習的準備狀態，會使人對某一事物更感興趣，學生儲存了大量的早先經驗，才可能引發他們在學習時的多方興趣”.新課標也指出：在教學中，從學生熟悉的生活情景出發，選擇學生身邊的、感興趣的事物，讓學生在觀察、操作、猜測、交流、反思等活動中逐步體會數學知識，獲得積極的情感體驗，感受數學的力量.

案例 指數函數的概念

（動畫演示）話說豬八戒自西天取經回到了高老莊，從高員外手里接下了高老莊集團，搖身變成了CEO.可好景不長，便因資金周轉不靈而陷入了窘境，急需大量資金投入，于是就找孫悟空幫忙.悟空一口答應：“行！我每天投資100萬元，但是有一個條件是：作為回報，投資一天你必須返還給我2元，投資兩天返還4元，投資三天返還8元，投資四天返還16元，按此規律，連續投資一個月.”八戒聽了，心里打起了小算盤：“一天支出2元，收入100萬；兩天支出4元，收入200萬；三天支出8元，收入300萬元……哇，發財了……”心里越想越美，可再看看悟空的表情，心里又嘀咕了：“這猴子老是欺負我，會不會又在耍我？”

問題 ①給悟空的錢數y與天數x有怎樣的函數關系？

②假如你是高老莊集團企劃部的高參，請你幫八戒分析一下，按照悟空的投資方式，30天后，八戒能吸納多少投資？又該返還給悟空多少錢？

依托市場經濟背景，以趣引思，使學生對指數函數有初步的感性認識.通過這個例子讓學生自己體會，總結出指數函數的概念.

牛頓曾說：“沒有大膽的猜想，就做不出偉大的發現.”猜想作為數學想象表現形式的最高層次，屬于創造性想象，是推動數學發展的強大動力，因此，在概念引入時培養學生敢于猜想的習慣，是形成數學直覺，發展數學思維，獲得數學發現的基本素質，也是培養創造性思維的重要因素.

2.在挖掘概念的內涵與外延的基礎上理解概念

掌握一個概念就是要求我們在接受一個概念時注意對整個概念意義的理解和本質的把握，而不是傾向于對概念機械地記憶和模仿，因為概念的正確理解是正確使用的前提.

到這里應該說問題基本解決.但在實際教學中，這種類似的問題學生卻是屢做屢錯，問題還是學生沒有真正領會函數的單調性和奇偶性的實質.

波利亞《怎樣解題》的開頭有這樣一段話，“你能不能重新敘述這個問題？你能不能用不同的方法重新敘述它？回到定義去.”在解答有關圓錐曲線的問題時，我們可以考慮它的方程、運用相應的定理和公式或通過其他的途徑，另外還須注意到即使使用一般方法能夠解決的問題如能考慮運用它們的定義，則不僅能加深對這些曲線本質的理解，同時還能簡化某些問題的解題步驟，開闊思路，提高解題能力.圓錐曲線的概念是圓錐曲線整章內容的知識源，許多問題不管形式怎樣變化，綜合性有多強，還得歸到這源上來，使問題解決始終“有矩可循，有法可依”.有時最“笨”的方法往往是最好的方法.一般地若遇到有關橢圓、雙曲線上一點到兩個焦點的距離這類問題時用第一定義，若遇到準線、焦半徑、離心率這三個概念中的兩個概念時都會有運用圓錐曲線第二定義解題的可能，某些只出現三個概念中一個概念的問題則需要我們不斷探究開創性地運用概念來解題.當然，這些都必須建立在對圓錐曲線概念的深刻理解的基礎上.

例2 如圖，已知正三角形ABC，求以B，C為焦點，且經過AB，AC中點D，E的橢圓、雙曲線的離心率.

“磨刀不誤砍柴工”，重視概念教學，挖掘概念的內涵與外延，有利于學生理解概念，從而為下一步的應用做準備.

3.在運用概念解決問題的過程中鞏固概念

數學概念形成之后，通過具體例子，說明概念的內涵，認識概念的“原型”，引導學生利用概念解決數學問題和發現概念在解決問題中的作用，是數學概念教學的一個重要環節，此環節操作的成功與否，將直接影響學生對數學概念的鞏固以及解題能力的形成.

說明 若等號取不到，改用函數的單調性.

通過應用基本不等式求最值的過程，使學生明確基本不等式的應用條件“一正二定三相等”，在應用的過程中進一步理解基本不等式，鞏固基本不等式.

高中數學新課標提出了與時俱進地認識“雙基”的基本理念，概念教學是“雙基”教學的重要組成部分，所以，通過數學概念教學，使學生認識概念、理解概念、鞏固概念，是數學概念教學的根本目的.通過概念課教學，力求使學生明確：（1）概念的發生、發展過程以及產生背景；（2）概念中有哪些規定和限制的條件，它們與以前的什么知識有聯系；（3）概念的名稱、表述的語言有何特點；（4）概念有沒有等價的敘述；（5）運用概念能解決哪些數學問題等.目前，課時不足是數學新課程教學的突出問題，這會使概念教學受到嚴重沖擊.我認為在概念教學中多花一些時間是值得的，因為只有理解掌握了概念，才能更好地幫助學生落實“雙基”，更好地幫助學生認識數學，認識數學的思想和本質，進一步地發展學生的思維，提高學生的解題能力.

總之，在概念教學中要優化概念教學設計，把握概念教學過程，創造性地使用教材.對教材中干擾概念教學的例子要更換，對脫離學生實際的概念運用問題要大膽刪去，真正使學生在參與的過程中產生內心的體驗和創造，達到認識數學思想和本質的目的，發展學生的思維，提高學生的解題能力的目的.