微分從屬與幾何函數(shù)理論的研究微分從屬與幾何函數(shù)理論的研究

【摘要】近年來(lái)，關(guān)于幾何函數(shù)的研究工作取得了較大的進(jìn)展，作為復(fù)分析中的一個(gè)重要分支結(jié)構(gòu)，幾何函數(shù)的研究工作主要集中在函數(shù)的幾何性質(zhì)等方面，這也是將幾何與理論分析相互結(jié)合的一個(gè)數(shù)學(xué)領(lǐng)域.與此同時(shí)，微分不等式的理論研究也不斷的進(jìn)步，本文就對(duì)微分從屬與幾何函數(shù)理論的相關(guān)研究進(jìn)行探討.

【關(guān)鍵詞】微分從屬；微分不等式；幾何函數(shù)；函數(shù)理論

在最近的學(xué)術(shù)研究中發(fā)現(xiàn)，代數(shù)幾何與函數(shù)理論在構(gòu)建非線性可積系統(tǒng)中存在著一定的內(nèi)在聯(lián)系，為此人們對(duì)于幾何函數(shù)理論的興趣也不斷的增強(qiáng)，眾所周知的弦理論的雛形就是通過(guò)幾何函數(shù)中的相關(guān)理論進(jìn)行計(jì)算而獲得的.近年來(lái)，用譜分析處理線性和非線性邊界值的問(wèn)題也得到了較大的進(jìn)展，因此其在幾何函數(shù)理論的研究方面，尤其是在微分方程的研究方面起到了重要的作用.幾何函數(shù)理論是一門歷史久遠(yuǎn)的學(xué)科，在現(xiàn)代數(shù)學(xué)、物理等科學(xué)中都有著較為廣泛的應(yīng)用，對(duì)微分從屬與幾何函數(shù)的相關(guān)理論進(jìn)行研究，能夠更加有利于幾何函數(shù)理論的應(yīng)用.

一、幾何函數(shù)理論綜述

復(fù)變函數(shù)理論是數(shù)學(xué)理論中的一個(gè)重要分支，有著較為悠久的歷史，并且在各種學(xué)術(shù)研究工作中發(fā)揮了重要的作用.在19世紀(jì)初期，柯西(Cauchy)、維爾斯特拉斯(Weierstrass)、黎曼(Riemann)等人在函數(shù)領(lǐng)域內(nèi)的研究工作為復(fù)變函數(shù)理論的發(fā)展提供了豐富的理論基礎(chǔ)，也從另一個(gè)側(cè)面對(duì)復(fù)變函數(shù)中的幾何性質(zhì)進(jìn)行了充分的體現(xiàn)，并且指出，在針對(duì)共形不變量進(jìn)行研究時(shí)，對(duì)于復(fù)雜區(qū)域的共形映照的性質(zhì)進(jìn)行分析和比較，只要對(duì)其中簡(jiǎn)單的區(qū)域進(jìn)行研究，就能夠獲得準(zhǔn)確的結(jié)果.這一研究結(jié)果也促進(jìn)了人們對(duì)幾何函數(shù)的研究，促成了幾何函數(shù)理論的產(chǎn)生.幾何函數(shù)理論是經(jīng)典分析與現(xiàn)代分析理論中的一個(gè)重要研究方向，有著豐富的研究成果，并且隨著理論的發(fā)展研究工作不斷的深入.幾何函數(shù)作為復(fù)分析中的一個(gè)重要領(lǐng)域，當(dāng)前在國(guó)內(nèi)和國(guó)際上都獲得了一定的重視，各國(guó)的學(xué)者和機(jī)構(gòu)也不斷地加強(qiáng)對(duì)該領(lǐng)域的研究.在國(guó)內(nèi)研究機(jī)構(gòu)主要有中國(guó)科技大學(xué)、華南師范大學(xué)、西北大學(xué)等.在國(guó)際上，日本、加拿大、美國(guó)等國(guó)也有著相當(dāng)大的一批學(xué)者從事該領(lǐng)域研究工作.國(guó)內(nèi)在該領(lǐng)域最早的工作當(dāng)屬陳建功、龔升和夏道行等人所做的開(kāi)創(chuàng)性的工作.當(dāng)然，我們也應(yīng)當(dāng)清楚地認(rèn)識(shí)到，我國(guó)國(guó)內(nèi)針對(duì)幾何函數(shù)理論的研究還需不斷加強(qiáng)，以期獲得更多國(guó)際先進(jìn)水平的成果，為我國(guó)數(shù)學(xué)領(lǐng)域理論研究工作的進(jìn)展提供更為豐富的經(jīng)驗(yàn).

二、微分從屬與幾何函數(shù)

微分從屬，是一種與微分不等式和微分方程聯(lián)系緊密的從屬關(guān)系.在上世紀(jì)70年末80年代初，是微分從屬理論研究的關(guān)鍵時(shí)期，在這一時(shí)期微分從屬理論得到了廣泛的應(yīng)用，尤其是在幾何函數(shù)領(lǐng)域中，成為了幾何函數(shù)研究工作的一種重要工具，同時(shí)其作為一種工具，也為幾何函數(shù)的研究提供了更為方便的研究方法.眾所周知，在函數(shù)理論的研究領(lǐng)域中，微分不等式有著十分重要的地位，很多重要的理論與定理的形成，都與微分理論有著密切的關(guān)系.大多情況下，在針對(duì)幾何函數(shù)中的某些特征進(jìn)行確定時(shí)，都需要依靠微分不等式來(lái)進(jìn)行，通過(guò)最簡(jiǎn)單的例子則可以看出其重要性.比如，通過(guò)f′(x)＞0一式，能夠得到f′(x)所呈現(xiàn)出的是遞增的性質(zhì).又如函數(shù)f(0)=1，可以通過(guò)f′(x)+f(x)≤1得到f(x)≤1的結(jié)論.在這個(gè)過(guò)程中需要注意的是，與幾何函數(shù)不同的復(fù)變函數(shù)中，也存在著一些相似的理論，但是二者是存在一定差別的.比如在NoshiroWarschawski定理中，存在著這樣一種算法，函數(shù)f(z)在單位圓盤U內(nèi)解析且R(f′(z))＞0，則f(z)在圓盤U內(nèi)單葉.從中也可以看出，在函數(shù)理論中的一些關(guān)于微分不等式的理論并不能完全適用于復(fù)變函數(shù)，因此，如何更加深入地研究復(fù)變函數(shù)理論中的微分不等式的性質(zhì)也成為了當(dāng)前學(xué)者們研究的重點(diǎn)問(wèn)題.其中較為著名的則是Miller和Mocanu，他們將研究的重點(diǎn)放在微分不等式的性質(zhì)研究方面，并且從屬方法應(yīng)用到復(fù)變函數(shù)中，從而為微分從屬理論以及幾何函數(shù)的研究工作奠定了更為豐富的理論基礎(chǔ).最后，接組允許函數(shù)，獲得了如下的蘊(yùn)涵關(guān)系公式：

近年來(lái)，隨著微分從屬理論研究工作的不斷開(kāi)展，也產(chǎn)生了各種不同的理論研究結(jié)果，其也逐漸成為了現(xiàn)代幾何函數(shù)理論研究工作中必不可少的一項(xiàng)依據(jù).比如Miller通過(guò)對(duì)微分從屬理論的研究工作，從中獲得了關(guān)于超幾何函數(shù)的單葉性問(wèn)題的相關(guān)理論.同時(shí)，對(duì)于微分從屬與超幾何函數(shù)的從屬關(guān)系也進(jìn)行了大量的研究，把微分從屬以及其與超幾何函數(shù)的相關(guān)理論進(jìn)行了推廣，從而使微分研究領(lǐng)域得到了較大的擴(kuò)展.在一些幾何函數(shù)中，對(duì)于某些非線性積分算子的從屬問(wèn)題也進(jìn)行了大量的研究，對(duì)于幾何函數(shù)與微分從屬以及超從屬等問(wèn)題也進(jìn)行了研究，從而獲得了sandwich型定理，促進(jìn)了幾何函數(shù)研究工作的持續(xù)進(jìn)展.

結(jié)束語(yǔ)

微分從屬是現(xiàn)代幾何函數(shù)研究領(lǐng)域中一個(gè)不可或缺的研究領(lǐng)域，其具有較為豐富的內(nèi)涵.本文筆者主要對(duì)微分從屬以及函數(shù)理論的相關(guān)問(wèn)題進(jìn)行了簡(jiǎn)單的分析，并著重探討了微分從屬與幾何函數(shù)的相關(guān)問(wèn)題，希望能為幾何函數(shù)的研究工作作出貢獻(xiàn).

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