導數含參量問題的解法探究

利用導數來研究函數的單調性和極值是高考命題的熱點，近年高考導數綜合題多是已知給定函數的最大值、最小值和極值，求函數中參數的取值范圍的問題，且多以壓軸題出現.本文綜合運用數形結合、分類討論、轉化與化歸思想來探索解決此類問題的有效方法。

一、含參數不等式恒成立問題

如果已知給定函數的最大值、最小值、極值，求解函數中參數的取值范圍問題是綜合性較強的問題.解決這類問題要求學生具有較好的數學素養和較強的數學能力，對基本的數學思想方法有較深刻的理解和認識.常用的求解策略有：

（1）最值或值減法：若a＞f(x)恒成立，則a＞■.若a＜f(x)恒成立，則a＜■（注意有無等號）.

（2）若函數在定義域內無最大值或最小值，則通過求函數的值域，利用恒成立確定a的取值范圍.

二、2010年高考課標全國卷（理）21題第二問的幾類解法

例：設函數（1）若a＝0，求f(x)的單調區間；

（2）若當x≥0時，f(x)≥0，求a的取值范圍.

分析：第一問屬于導數考查的常見問題，第二問是含參數問題的求解.

（1）解：若a＝0，f(x)=■ex-1-x，則f'(x)=■ex-1.

當x∈（－∞，0）時，f'(x)＜0；當x∈（0，＋∞）時，f'(x)＞0.

故f(x)在（－∞，0）上單調遞減，在（0，＋∞）上單調遞增.

（2）解法一：分類討論

因為f'(x)=■ex-1-2ax，

①由（1）知■ex≥1+x，當且僅當x＝0時等號成立，所以f'(x)≥x-2ax=(1-2a)x，從而當1－2ax≥0即a≤■時，f'(x)≥0（x≥0），所以f(x)在[0，＋∞）上單調遞增，而f(0)=0，于是當x≥0，f(x)≥0.

②由■ex>1+x（x≠0）可得■ex>1-x（x≠0），從而當a＞■時，

f'(x)<■ex-1+2a(■e-x-1)=e-x(ex-1)(ex-2a).令■e-x(ex-1)(ex-2a)<0得1

解法二：數形結合

因為f'(x)=ex-1-2ax，令g■(x)=ex，g■(x)=1+2ax，若f'(x)≥0則ex≥1+2ax.

①當a＞0時，因為x≥0所以ex≥1恒成立，故f'(x)≥0恒成立，所以a≤0時，f(x)≥0（x≥0）.

②a＞0時，g'■(x)=ex≥e0=1，g'■(x)=2a，若ex≥1+2ax則1≥2a即a≤■，如圖：

■

則0＜a＜■時，f'(x)≥0，f(x)在[0，＋∞）上單調遞增，則f(x)≥f(0)=0，所以0＜a＜■時，f(x)≥0（x≥0）.綜上a≤■.

解法三：洛必達法則求值域

當x≥0時，f(x)≥0，則ex-1-x-ax2≥0恒成立，則a≤■.

令g(x)=■，當x＝0時分母無意義.ex=1+x+■+■+…+■，

根據洛必達法則：

limg(x)=■■=■■=■■=■，

∴g(x)≥■，又a≥g(x)恒成立，則a≤■.

再如，2010年高考課標全國卷（文）：設函數f(x)=x(ex-1)-ax2.

（1）若a＝■，求的單調區間；

（2）若當x≥0時，f(x)≥0，求a的取值范圍.

該題也可用以上幾種方法解決.

由以上例題可知，在含參問題中，學生要善于利用數學邏輯思維方法去分析和解決問題.