《正方體的平面展開圖》教學案例

一、背景說明

《正方形的平面展開圖》是新一輪教育改革新課標背景下，北師大教材七年級上第一章《豐富圖形世界》中的一節。發展學生的空間觀念是《正方形的平面展開圖》學習的核心目標，而能由正方體的形狀想象出平面展開圖形，由平面圖形想象出實物的形狀，進行幾何體與展開圖之間的轉化是空間觀念的重要方面。同時，學生需要根據已有的生活背景和初步的數學活動經驗，從觀察正方體開始，通過觀察、操作、想象、推理、交流等大量數學活動，逐步形成自己對空間與圖形的認識。

二、主題說明

（一）鼓勵學生主動參與，充分實踐，達到解決問題的目的

讓學生體會學習數學的一種方法：操作。操作數學是在新課程標準下提出的一種學習數學的方法，讓學生在操作中去體會、感知、驗證，啟發學生思考，使學生操作與思考相結合，從而解決問題并積累數學活動經驗。本節中有五處需要學生操作。第一，準備階段：要求每位學生在課前自己動手制作3～５個小正方體。第二，在課堂上，利用棱柱平面展開圖的方法探索正方體的平面展開圖的過程。第三，在探索是否有別的正方體平面展開圖時。第四，在驗證一平面展開圖能否圍成一個正方體時。第五，探究圓柱、圓錐的側面展開圖時。

（二）師生互動，合作學習

數學教學是數學活動的教學，是師生互動合作、共同發展的過程。教師是整個活動的組織者、引導者和參與者，能更有效地引導學生參與教學活動中，在活動中激發學生的學習興趣和學習潛能，促使他們在自主探索的基礎上與同學、教師合作交流的過程中真正理解和掌握數學知識與技能、數學思想與方法，并獲得廣泛的數學活動經驗，從而提高解決問題的能力，學會學習。同時使學生在意志力、自信心、理性思維等方面也得到良好的發展。本節教學即在操作與交流中讓學生經歷知識的形成與應用的過程，形成新的知識，而不是單純模仿與記憶。

三、教學過程

（一）教學目標

1.知識與技能目標。通過充分的實踐、探索、交流，使學生能將一個正方體的表面沿某些棱剪開，展成一個平面圖形；了解圓柱、圓錐的側面展開圖；棱根據展開圖判斷和制作簡單的立體圖形；經歷展開與折疊、模型制作等活動，發展空間觀念，積累數學活動經驗。

2.過程與方法目標。學生在操作、交流合作、師生互動中獲得知識，積累數學活動經驗，提高數學能力。

3.情感與態度目標。讓學生充分經歷操作實踐、探索交流，獲得成功的體驗，使學生在意志力、自信心和理性思維等方面獲得提升和發展。

（二）教學重點

1.將一個正方體的表面沿某些棱展開，展成平面圖形。

2.圓柱、圓錐的平面展開圖。

（三）教學難點

鼓勵學生盡可能多的將一個正方體展成平面圖形，并用語言描敘其過程。

（四）課前準備

1.每位學生準備3個自制小正方體、圓柱、圓錐各一個。

2.每位學生準備一把剪刀。

（五）教學過程

1.創設問題情境，引入新課。

師：在前面的學習中，我們可以根據所給的圖形折疊成六棱柱、三棱柱及四棱柱，但如果給出幾何體，例如我們熟悉的正方體，如果沿某些棱剪開，會得到什么樣的平面圖形呢？這樣的平面圖形有多少種呢？下面我們就來通過具體操作和合作交流來回答這幾個問題。

（這樣通過具體設問使學生明確本節課要研究的課題及用什么方法來研究探索。）

2.探索新知。

師：正方體是四棱柱，是否可以根據棱柱的展開圖將它展開？我們先來回憶一下棱柱的展開圖必須滿足什么條件呢？

（引導學生找出研究正方體平面展開圖的研究方向——類比棱柱平面展開圖。）

生：棱柱的平面展開圖必須滿足兩個條件：第一，中間的長方形的個數與兩側多邊形的邊數相同。第二，兩個多邊形應位于中間長方形的兩側。

師：下面同學們就用你手中的工具將正方體仿造棱柱的展開圖展開，小組內交流、討論，最后派一代表陳述你們小組的想法。

（學生在具體操作中體會有序的思考和分類討論的數學思想；感知正方體仿照棱柱的展開圖展開的方法；驗證其六種平面展開圖。此時教師深入學生中去，對較困難的學生予以指導。）

生：我們組認為把正方體當成四棱柱，只需任意相對的兩個面作為上、下底面，其余四個面作為側面，將上、下底面與側面相連底四條棱任意剪開三條，再將四條側棱任意剪開一條，就可以得到正方體的平面展開圖。我們的展開圖有：■

師：請同學們觀察上述展開圖有什么特征嗎？

（學生小聲交流討論。）

師生共析:正方體作為四棱柱仿照棱柱的展開圖共有六種，但正方體是一個六個面都是正方形的特殊四棱柱，是否還有別的正方體平面展開圖呢？請同學們試一試還能得到正方體的平面展開圖？

（學生再次動手操作，然后交流討論。）

生：我將正方體的每條棱編號，如圖所示，如果沿著②→③→④剪開后，再分別沿著⑤→⑨→⑩，剪開，再剪開⑧便可得到展開圖（7）。

■

生：類似的還可以得到下圖（8）、（9）。

■

師：同學們思考這三個圖有什么特征？

生：都是橫看是三行，上面一行都是兩個面并排，中間一行都是三個面并排，下面一行都是一個面按順序排列。

師：（出示兩個六個面組成的平面圖形，如圖（10）、（11））請同學們思考這兩個圖形能折疊成一個正方體嗎？

（引導學生利用逆向思維拓展學生的空間想象能力，將正方體的平面展開圖補充完整，同時黑板上已有序地展示出正方體的11種平面展開圖。）

師：（出示圖（12））如圖（12），這個平面圖形經過折疊后能否圍成一個正方體？

生：（稍微思考后回答）我覺得不能，因為這樣折疊總會有兩個面重合。

■ ■

師：是不是這樣的呢？我們可以用手中的圖形操作一下。

（利用操作驗證空間想象。）

生：（學生動手操作后先后回答）不能，有兩個面重合了。

師：那么，老師這兒有這樣一個問題；將正方體的某些能剪開，展成一個平面圖形，需要剪開幾條棱呢？

生：（學生經過實際數一數、討論）需要剪開7條棱。

師生共析：因為正方體有12條棱，6個面，將其表面展成一個平面圖形，其面與面之間相連的棱有5條，因此需要剪開7條棱。

師：剛才我們研究了正方體的表面展開圖，請同學們思考圓柱、圓錐的側面展開圖是怎樣的呢？請同學們動手畫一畫，再動手操作驗證。

（先讓學生發揮空間想象，將側面展開圖畫出來，再操作驗證，教師對困難學生加以指導。）

3.小結。

（1）經過動手操作、合作交流得到了正方體的11種平面展開圖，發展了我們的空間觀念。（2）通過想象和操作，得到了圓柱、圓錐的側面展開圖。

四、結果說明

本節課教學容量大，學生活動多，師生互動交流活動量大，教師在教學活動中思路清晰，重難點突出，把握恰當，時間安排合理，能較好的調動學生主動參與，合作交流，圓滿完成教學任務。