利用一題多解培養(yǎng)學(xué)生的思維

前蘇聯(lián)學(xué)者茹科夫斯基指出：“數(shù)學(xué)里有詩畫那樣美的境界。”如果讓每一位學(xué)生如觀賞風(fēng)景般地來學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，當(dāng)然就其樂無窮，興趣盎然。但傳統(tǒng)的定勢(shì)思維卻在很大程度上禁錮了學(xué)生思維空間的拓展。讓數(shù)學(xué)失去了生動(dòng)性，增添了枯燥性。而注重思維多元化，提倡一題多解就可以克服此弊端，它可以有效地磨礪學(xué)生的思維，給他們自由思考的空間，在探索中提高思維的能力。下面筆者就在教學(xué)中的體會(huì)談?wù)劇币活}多解“在數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用。

一、一題多解有利于培養(yǎng)學(xué)生思維的廣闊性

思維的廣闊性是指思維活動(dòng)發(fā)揮作用的廣闊程度。教學(xué)中，通過一題多解的練習(xí)，可使學(xué)生養(yǎng)成以不同的角度觀察、思考，用不同的方法和觀點(diǎn)去解決同一數(shù)學(xué)問題的習(xí)慣，從而擴(kuò)充思維的領(lǐng)域，增加思維機(jī)遇。學(xué)生不滿足已有方法而尋找新方法，有利于溝通知識(shí)間的聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生思維的廣闊性。

例1：求函數(shù)y=■的值域。

解析：解此題有多種思路。思路一：利用三角函數(shù)的有界性的方法。由y=■，得：sinx=■。∵|sinx|≤1，∴|■|≤1，解之得：■≤y≤2。即所求函數(shù)的值域?yàn)椋篬■，2]。

思路二：分離變量的方法。由y=■，得：y=-1+■∵|sinx|≤1，∴2≤3+sinx≤4，∴■≤■≤3，■≤-1+■≤2。即所求函數(shù)的值域?yàn)椋篬■，2]。

思路三：利用導(dǎo)函數(shù)的方法。先證明函數(shù)y=■=-1+■在[-■，■]上是減函數(shù)。故：■≤y≤■，即：■≤y≤2。∴所求函數(shù)的值域?yàn)椋篬■，2]。

點(diǎn)評(píng)：三種解題方法中，通過以題帶面復(fù)習(xí)了“函數(shù)的定義域、值域、性質(zhì)”“三角函數(shù)的有界性”等知識(shí)，加深了知識(shí)間的溝通，同時(shí)培養(yǎng)了學(xué)生解題的轉(zhuǎn)化策略，體現(xiàn)了函數(shù)與方程的思想在數(shù)學(xué)中的作用。通過一題多解，既能促使學(xué)生溝通知識(shí)點(diǎn)間的聯(lián)系，又培養(yǎng)了學(xué)生的思維能力，從中學(xué)到了“轉(zhuǎn)化策略、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程”等基本的數(shù)學(xué)思想。同時(shí)也讓學(xué)生通過對(duì)比、小結(jié)，得出自己的體會(huì)，充分發(fā)掘自身的潛能，從而提高自己的解題能力，這不僅引導(dǎo)學(xué)生多方法、多視角思考問題和發(fā)現(xiàn)問題，形成良好的思維品質(zhì)，而且使學(xué)生感受到成功的喜悅和增強(qiáng)自信心，也極大地激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性和濃厚的興趣，從而在很大程度上培養(yǎng)了學(xué)生思維的廣闊性。

二、一題多解有利于培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性和深刻性

思維的靈活性指智力活動(dòng)的靈活程度。思維靈活性的培養(yǎng)在解題教學(xué)中，主要表現(xiàn)為一題多解，即善于根據(jù)題設(shè)中的具體情況，及時(shí)提出新的設(shè)想和解題方案，不固執(zhí)己見，不拘泥于陳舊的方案。而思維的深刻性是指在靈活性的基礎(chǔ)上，深刻領(lǐng)會(huì)解題的實(shí)質(zhì)，掌握其一般規(guī)律。

例2：若直線■+■=1通過點(diǎn)M（cosα，sinα），則（ ）。

A.a2+b2≤1 B.a2+b2≥1 C.■+■≤1 D.■+■≥1

解析：本題考查“直線和圓的位置關(guān)系”“三角函數(shù)的變換”和“不等式的性質(zhì)”，重在考查學(xué)生思維的靈活性與深刻性，從不同的知識(shí)入手將得到不同的解題途徑。思路一：靜態(tài)觀點(diǎn)，從三角函數(shù)的角度切入。由已知，得■+■=1，即asinα +bcosα=ab，聯(lián)想三角函數(shù)中的輔助角公式。有：

■sin(?琢+?茁)=ab?圯|sin(?琢+?茁)|=|■|≤1?圯■+■≥1

思路二：動(dòng)態(tài)的觀點(diǎn)，從運(yùn)動(dòng)變化的角度切入。點(diǎn)M（cosα，sinα）在圓x2+y2=1上，直線過點(diǎn)M意味著直線■+■＝1和圓x2+y2=1有公共點(diǎn)，即■≤1，所以■+■≥1。

思路三：從平面向量角度切入。令 m=(■，■)，n=(cos?琢，sin?琢)，則m·n=(■，■)·（cos?琢，sin?琢）=■+■=1，由向量數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)知m·n≤|m|·|n|，又|m|=■，|n|=1，所以■≥1，即■+■≥1。

點(diǎn)評(píng)：三種解法分別從四個(gè)角度切入，各有優(yōu)缺點(diǎn)，思路一要求學(xué)生要看到點(diǎn)M（cosα，sinα）與三角函數(shù)的關(guān)系，并且熟練掌握輔助角公式和同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式。思路二同樣從點(diǎn)M（cosα，sinα）入手，把靜止的點(diǎn)看成單位圓上的動(dòng)點(diǎn)，從而使問題得到轉(zhuǎn)化，只需考查直線與圓的位置關(guān)系即可，運(yùn)算量較小，同時(shí)也突出了知識(shí)間的橫向聯(lián)系。思路三是在前兩個(gè)思路基礎(chǔ)上的一個(gè)升華，要求學(xué)生靈活運(yùn)用所求的知識(shí)，能通過挖掘知識(shí)之間的橫向聯(lián)系，把握不等關(guān)系的本質(zhì)，并在此基礎(chǔ)上機(jī)動(dòng)地思考問題，深化認(rèn)識(shí)層次。