《微積分基本定理》的教學(xué)設(shè)計(jì)

有數(shù)學(xué)專(zhuān)家說(shuō)過(guò)：當(dāng)前數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的品位不高是普遍性的，許多教師的“匠氣”十足，一切圍繞高考轉(zhuǎn)，以題型教學(xué)、技巧訓(xùn)練代替數(shù)學(xué)教學(xué)，功利化色彩濃厚，缺少起碼的思想、精神追求，極大的損害了數(shù)學(xué)的育人功能。沒(méi)有“目標(biāo)”的教學(xué)，因?yàn)槿狈?shù)學(xué)思想方法為紐帶，概念間的關(guān)系無(wú)法認(rèn)識(shí)、聯(lián)系，也難以建立，導(dǎo)致學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)缺乏整體性，其可利用性、可辨性和穩(wěn)定性等“功能指標(biāo)”都會(huì)大打折扣。沒(méi)有“目標(biāo)”的教學(xué)把“思維的體操”降格為“刺激—反應(yīng)”訓(xùn)練，是教育功利化在數(shù)學(xué)教學(xué)中的集中表現(xiàn)?？梢?jiàn)，想使數(shù)學(xué)成為“有思想的教學(xué)”，成為提高學(xué)生思維能力的舞臺(tái)和培育其理性精神的陣地，在教學(xué)中都應(yīng)該堅(jiān)持“目標(biāo)與結(jié)果并重”的原則。為了更好地實(shí)踐這一原則，使有效教學(xué)真正落到實(shí)處，筆者把自己上的一節(jié)《微積分基本定理》課，結(jié)合專(zhuān)家的觀(guān)點(diǎn)和自己在授課中的體會(huì)，以教學(xué)設(shè)計(jì)的形式呈現(xiàn)給大家。

一、教材分析

《微積分基本定理》是人教B版《選修2—2》第一章第4節(jié)的內(nèi)容，本節(jié)內(nèi)容分兩個(gè)部分授完。通過(guò)對(duì)這節(jié)課的學(xué)習(xí)，不僅使學(xué)生掌握微積分基本定理，同時(shí)要讓學(xué)生在探索的過(guò)程中感受數(shù)學(xué)之“美”，體會(huì)事物間的相互轉(zhuǎn)化、對(duì)立統(tǒng)一的辯證關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生的辯證唯物主義觀(guān)點(diǎn)，提高學(xué)生的理性思維能力。

本節(jié)課是學(xué)生學(xué)習(xí)了導(dǎo)數(shù)和定積分這兩個(gè)概念的繼續(xù)，它不僅揭示了求導(dǎo)和定積分之間的內(nèi)在聯(lián)系，同時(shí)也為計(jì)算定積分提供了一種有效的方法，為后面的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。因此它在教材中處于極其重要的地位，起到了承上啟下的作用。

這節(jié)課的推導(dǎo)過(guò)程比較“難”，在教學(xué)中，教師應(yīng)該以問(wèn)題為核心構(gòu)建課堂教學(xué)，注重引導(dǎo)，由淺入深，充分發(fā)揮學(xué)生的主觀(guān)能動(dòng)性，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維。根據(jù)本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)和學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，可采用類(lèi)比、啟發(fā)、引導(dǎo)、探索相結(jié)合的方法，使學(xué)生產(chǎn)生濃厚的學(xué)習(xí)興趣和求知欲，充分體現(xiàn)學(xué)生的主體地位。

二、教學(xué)設(shè)計(jì)

（一）創(chuàng)設(shè)情境，溫故知新

1.利用定積分的幾何意義，求下列定積分：

（1）■2xdx （2）■■dx

2.根據(jù)■sinxdx=0推斷：

求直線(xiàn)x=0，x=2π，y=0和正弦曲線(xiàn)y=sinx所圍成的曲邊梯形面積。下列結(jié)論正確的是（ ）

A.面積為0

B.曲邊梯形在x軸上方的面積大于在x軸下方的面積

C.曲邊梯形在x軸上方的面積小于在x軸下方的面積

D.曲邊梯形在x軸上方的面積等于在x軸下方的面積

設(shè)計(jì)意圖：（1）鞏固上節(jié)課的知識(shí)。（2）繼續(xù)追問(wèn)：第二題中的積分■sinxdx=0是作為已知出現(xiàn)的，請(qǐng)同學(xué)們思考如何計(jì)算出■sinxdx=0。在數(shù)學(xué)課堂上，我們應(yīng)該營(yíng)造一個(gè)“再思考”的環(huán)境，對(duì)一個(gè)熟悉的問(wèn)題進(jìn)行“再思考”，能夠激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和探究熱情，有了這樣的探究熱情和興趣，學(xué)生就會(huì)更加主動(dòng)地投入到接下來(lái)的學(xué)習(xí)過(guò)程中。

（二）實(shí)例引領(lǐng)，新課探究

右圖是一個(gè)作變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的物體的位移與時(shí)間s=s(t)的函數(shù)圖像，設(shè)這個(gè)物體在時(shí)間段[a，b]內(nèi)的位移為S，你能表示S嗎?

設(shè)計(jì)意圖：數(shù)學(xué)是思維的科學(xué)，數(shù)學(xué)思維能力的提升離不開(kāi)教師的正確引導(dǎo)和學(xué)生積極主動(dòng)的參與，因此教師在創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境時(shí)應(yīng)能引發(fā)學(xué)生足夠的探究熱情，激發(fā)他們思維的靈活性。學(xué)生用位移與時(shí)間函數(shù)s=s(t)可以輕松表示物體在[a，b]內(nèi)的位移S，得出S=s(a)-s(b)。

追問(wèn)1：除了用位移與時(shí)間函數(shù)表示S外，還有沒(méi)有其他函數(shù)能把S表示出來(lái)？

追問(wèn)2：如何得到速度與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系？位移與時(shí)間函數(shù)s=s(t)和速度與時(shí)間函數(shù)v=v(t)之間有什么關(guān)系？

追問(wèn)3：有了速度與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系如何得到位移？

追問(wèn)4：s=vt這個(gè)公式適合物體作什么運(yùn)動(dòng)？

追問(wèn)5：如何處理“勻速”“變速”的關(guān)系？

（三）抽象概括，提煉定理

反思上述過(guò)程得出結(jié)論——微積分基本定理：如果f(x)是區(qū)間[a，b]上的連續(xù)函數(shù)，并且F'(x)=f(x)，則■f(x)dx=F(x)ba=F(b)-

F(a)，這個(gè)結(jié)論叫做微積分基本定理，又叫牛頓——萊布尼茲公式。為了方便，我們常把F(a)-F(b)記成F(x)ba=F(b)-F(a)，即■F(x)dx=F(x)ba=F(b)-F(a)

三、課后反思

本節(jié)課借助于變速運(yùn)動(dòng)物體的速度與位移的關(guān)系，經(jīng)重重“艱難險(xiǎn)阻”推出讓所有學(xué)生都感到“美”的微積分基本定理。在錯(cuò)綜復(fù)雜、紛繁難理的自然現(xiàn)象中，通過(guò)抽象、概括得出簡(jiǎn)潔的數(shù)學(xué)規(guī)律、公式，便是數(shù)學(xué)的“簡(jiǎn)潔”美。我們?cè)谧非蠛?jiǎn)潔美（微積分基本定理）的過(guò)程中，不僅對(duì)微積分基本思想的理解更加深刻，同時(shí)也掌握了微積分的本質(zhì)規(guī)律。