《微積分基本定理》的教學設計

有數學專家說過：當前數學課堂教學的品位不高是普遍性的，許多教師的“匠氣”十足，一切圍繞高考轉，以題型教學、技巧訓練代替數學教學，功利化色彩濃厚，缺少起碼的思想、精神追求，極大的損害了數學的育人功能。沒有“目標”的教學，因為缺乏數學思想方法為紐帶，概念間的關系無法認識、聯系，也難以建立，導致學生的數學認知結構缺乏整體性，其可利用性、可辨性和穩定性等“功能指標”都會大打折扣。沒有“目標”的教學把“思維的體操”降格為“刺激—反應”訓練，是教育功利化在數學教學中的集中表現。可見，想使數學成為“有思想的教學”，成為提高學生思維能力的舞臺和培育其理性精神的陣地，在教學中都應該堅持“目標與結果并重”的原則。為了更好地實踐這一原則，使有效教學真正落到實處，筆者把自己上的一節《微積分基本定理》課，結合專家的觀點和自己在授課中的體會，以教學設計的形式呈現給大家。

一、教材分析

《微積分基本定理》是人教B版《選修2—2》第一章第4節的內容，本節內容分兩個部分授完。通過對這節課的學習，不僅使學生掌握微積分基本定理，同時要讓學生在探索的過程中感受數學之“美”，體會事物間的相互轉化、對立統一的辯證關系，培養學生的辯證唯物主義觀點，提高學生的理性思維能力。

本節課是學生學習了導數和定積分這兩個概念的繼續，它不僅揭示了求導和定積分之間的內在聯系，同時也為計算定積分提供了一種有效的方法，為后面的學習奠定基礎。因此它在教材中處于極其重要的地位，起到了承上啟下的作用。

這節課的推導過程比較“難”，在教學中，教師應該以問題為核心構建課堂教學，注重引導，由淺入深，充分發揮學生的主觀能動性，培養學生的創造性思維。根據本節課的教學目標和學生的認知規律，可采用類比、啟發、引導、探索相結合的方法，使學生產生濃厚的學習興趣和求知欲，充分體現學生的主體地位。

二、教學設計

（一）創設情境，溫故知新

1.利用定積分的幾何意義，求下列定積分：

（1）■2xdx （2）■■dx

2.根據■sinxdx=0推斷：

求直線x=0，x=2π，y=0和正弦曲線y=sinx所圍成的曲邊梯形面積。下列結論正確的是（ ）

A.面積為0

B.曲邊梯形在x軸上方的面積大于在x軸下方的面積

C.曲邊梯形在x軸上方的面積小于在x軸下方的面積

D.曲邊梯形在x軸上方的面積等于在x軸下方的面積

設計意圖：（1）鞏固上節課的知識。（2）繼續追問：第二題中的積分■sinxdx=0是作為已知出現的，請同學們思考如何計算出■sinxdx=0。在數學課堂上，我們應該營造一個“再思考”的環境，對一個熟悉的問題進行“再思考”，能夠激發學生的學習興趣和探究熱情，有了這樣的探究熱情和興趣，學生就會更加主動地投入到接下來的學習過程中。

（二）實例引領，新課探究

右圖是一個作變速直線運動的物體的位移與時間s=s(t)的函數圖像，設這個物體在時間段[a，b]內的位移為S，你能表示S嗎?

設計意圖：數學是思維的科學，數學思維能力的提升離不開教師的正確引導和學生積極主動的參與，因此教師在創設問題情境時應能引發學生足夠的探究熱情，激發他們思維的靈活性。學生用位移與時間函數s=s(t)可以輕松表示物體在[a，b]內的位移S，得出S=s(a)-s(b)。

追問1：除了用位移與時間函數表示S外，還有沒有其他函數能把S表示出來？

追問2：如何得到速度與時間的函數關系？位移與時間函數s=s(t)和速度與時間函數v=v(t)之間有什么關系？

追問3：有了速度與時間的函數關系如何得到位移？

追問4：s=vt這個公式適合物體作什么運動？

追問5：如何處理“勻速”“變速”的關系？

（三）抽象概括，提煉定理

反思上述過程得出結論——微積分基本定理：如果f(x)是區間[a，b]上的連續函數，并且F'(x)=f(x)，則■f(x)dx=F(x)ba=F(b)-

F(a)，這個結論叫做微積分基本定理，又叫牛頓——萊布尼茲公式。為了方便，我們常把F(a)-F(b)記成F(x)ba=F(b)-F(a)，即■F(x)dx=F(x)ba=F(b)-F(a)

三、課后反思

本節課借助于變速運動物體的速度與位移的關系，經重重“艱難險阻”推出讓所有學生都感到“美”的微積分基本定理。在錯綜復雜、紛繁難理的自然現象中，通過抽象、概括得出簡潔的數學規律、公式，便是數學的“簡潔”美。我們在追求簡潔美（微積分基本定理）的過程中，不僅對微積分基本思想的理解更加深刻，同時也掌握了微積分的本質規律。