用基本不等式a+b/2≥根號ab 求最值時構造“定值”的常用方法

利用基本不等式■≥■（其中a，b≥0）求最值是高中數學中常用方法之一，下面介紹幾種構造“定值”的常用方法.

一、湊配系數法

題目求式的結構、題設約束條件的結構與基本不等式結構一致，而差異僅僅是系數不同，通常是依據題設約束條件給求式湊配合適的系數，或依據求式的結構給題設約束條件湊配合適的系數構造“和或積為定值”，進而運用基本不等式求最值，這種技巧方法稱為湊配系數法.

例1：已知a﹥0，b﹥0，且a2+■=1，求a■的最大值.

分析：因為求式a■=■，故其結構、題設條件的結構與基本不等式的結構一致，其中的a，b次數也一致，僅系數差異，因此采用湊配系數法構造“和為定值”.

解：因為a﹥0，b﹥0，所以a■=■·■≤■·■=■.故a■的最大值是■.

二、換元法

題目的約束條件及求式，其一結構為關于x、y的倒數“和”結構，另一結構為關于x、y的“和”結構，通常采用“1”的整體代換或三角換元，構造“積”為定值，進而運用基本不等式求最值，這種技巧方法稱為換元法.

例2：已知a、b、x、y都是正數，■+■=1.求x+y的最小值.

解：令x=asec2θy=bcsc2θ，則x+y=a(1+tan2θ)+b(1+cot2θ)=a+b+ atan2θ+bcot2θ≥a+b+2■.當且僅當atan2θ=bcot2θ，即tan2θ=■，x=a+■y=b+■時，x+y的最小值是a+b+2■.

三、整合重組法

題目的約束條件或求式含有多元，或者其結構復雜，通常采用“拆分項”“添加項”“合并項”等基本技巧構造“和或積為定值”，進而運用基本不等式求最值，這種技巧方法稱為整合重組法.

例3：已知ａ＞ｂ＞０，求a2+■的最小值.

分析：此題初看無從下手，但其結構為分式型，采用“拆項”“添加項”整合重組，構造“積為定值”，進而運用基本不等式求最值.

解：a2+■=a[(a-b)+b]+■(■+■)=a(a-b)+ab+■+■，因為ab+■≥2■=8.當且僅當ab=■，即ab=4時，等號成立.

又因a(a-b)+■≥2■=8.當且僅當a(a-b)=■，即a(a-b)=4時，等號成立.

所以，a(a-b)+ab+■+■≥16.當且僅當ab=4a(a-b)=4，即a=2■，b=■時，等號成立.故a2+■的最小值是16.