“圓”應(yīng)該注意的多解問題

在數(shù)學(xué)考試中，由于時間緊任務(wù)重，學(xué)生的精神高度緊張，所以對于不只一個答案的問題，學(xué)生在解答過程中往往會丟解，即使教師在試卷講評時多次強(qiáng)調(diào)，效果也不是很好.因此，教師有必要把這些題進(jìn)行歸類總結(jié)，進(jìn)行系統(tǒng)講解.現(xiàn)在，筆者把平時遇到的這方面的題收集、歸類，便于初三學(xué)生進(jìn)行復(fù)習(xí).

一、同圓中弦所對的弧有兩個，由此產(chǎn)生多解問題

例1：⊙O中弦AB所對的圓心角為110°，那么，它所對的圓周角為多少度？

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錯解：如果不給出上面的圖，很多學(xué)生會根據(jù)圓周角定理得出55°的結(jié)論.

而從圖中可以看出還有一個解為125°，因此正確答案為：55°或125°.

例2：P為⊙O外一點(diǎn)，PA，PB分別切⊙O于點(diǎn)A，B，∠APB=50°，點(diǎn)C為■上一點(diǎn)（不與A，B重合），則∠ACB的度數(shù)為 .

錯解：在教師所批的試卷中，很多學(xué)生會給出答案65°.

實(shí)際上■有兩個，當(dāng)點(diǎn)C落在另一位置時，∠ACB的度數(shù)為115°.

二、兩圓相切時產(chǎn)生多解問題

例3：若相切兩圓的半徑分別是方程x2-12x+27=0的兩根，則兩圓的圓心距為 .

錯解:設(shè)方程兩根分別為x1，x2，根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系x1+x2=12，所以相切兩圓的圓心距為12.

分析：此解只是圓與圓位置關(guān)系“相切”的一種“外切”，圓心距等于兩半徑之和，但是相切還有另一種位置關(guān)系“內(nèi)切”圓心距等于大圓半徑減去小圓半徑，正確的解答為：

x2-12x+27=0，解得x1=3，x2=9.

外切時圓心距為x1+x2=3+9=12;內(nèi)切時圓心距為x2-x1=9-3 =6.

三、兩圓相交時產(chǎn)生多解問題

例4：相交兩圓的半徑分別是5和3，公共弦長為4，則圓心距為 .

錯解：如下圖，∵O1O2垂直平分AB，AC=■AB=2

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在Rt△AO1C與Rt△AO2C中，根據(jù)勾股定理得O1C=■ +■.

剖析：兩圓相交有兩種情形，一種是圓心在公共弦兩側(cè)，如上圖；一種是圓心在公共弦同側(cè)，如下圖.此種情形時的解為：

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∵O1O2垂直平分AB，AC=■AB=2

在Rt△AO1C與Rt△AO2C中，根據(jù)勾股定理得O1C=■ -■.

所以，兩圓的圓心距為■+■或■-■.

同理，兩圓相離有外離和內(nèi)含兩種位置關(guān)系，因此也會產(chǎn)生多解問題，在此不做贅述.教師在平時要多提醒學(xué)生，做題過程中的易錯題，要多進(jìn)行歸類、總結(jié)，一定會起到事半功倍的效果.