有限與無限思想在高考數學解題中的應用

有限與無限思想方法就是把有限問題轉化為無限問題，把無限問題轉化為有限問題，并利用二者間的轉化來解決問題。高考試題中運用有限與無限思想來解題的有很多，比如說極限、導數、數學歸納法等這些都是典型的有限與無限思想方法的應用。下面結合高考例題談談有限與無限思想在高考數學解題中的具體應用。

一、在極限中的應用

近幾年，高考對數列和函數極限的考查有所加重，題型主要以選擇填空為主，難度在中等以下。數列極限主要以■型為主，或是在解答題中與數列問題相結合。函數極限主要考查四則運算和函數連續性的概念，或是與導數問題結合出現在解答題中。

例1：（2011年重慶卷理科3題） 已知■(■+■)=2，則a=( )。

A.-6 B.2 C.3 D.6

分析：本題考察的是函數極限的概念及運算，已知當x→∞時函數的極限值求a，屬于簡單題。

例2：（2010年湖北卷理科7題） 在半徑為r的圓內做內接正六邊形，再做內接正六邊形的內接圓，又在此內接圓內做內接正六邊形，如此無限繼續下去。設Sn為前n個圓的面積之和，則■Sn=( )。

A.2πr2 B.■πr2 C.4πr2 D.6πr2

分析：先求出這n個圓各自的半徑rn=(■)n-1r，得到圓的面積Sn關于rn的表達式Sn=π[(■)n-1r]2，我們知道Sn是隨著n的變化而變化的，n的變化是無限的。各個圓的面積Sn組成了一個無窮遞縮等比數列，此題研究的是n無窮大時數列極限的問題，它將圓的面積之和轉化為當n→∞時Sn的極限值，是有限與無限思想的典型應用。

極限研究的是數列和函數在無限過程中的變化趨勢，從無限回歸到有限或將有限化為無限是解決這類問題的指導思想。

二、在導數中的應用

導數是高考必考的知識，對導數的運算及其實際意義和幾何意義的考查主要以選擇填空為主，難度適中。解答題的難度一般在中等以上，主要考查導數在函數的極值、最值和單調性中的應用，常與不等式、三角函數、解析幾何、平面向量等內容相結合。

例3：（2011年全國卷理科數學8題）曲線y=e-2x+1在點(0，2)處的切線與直線y=0和y=x圍成的三角形面積為（ ）。

A.■ B.■ C.■ D.1

分析：由導數的幾何意義求出曲線y=e-2x+1在點(0，2)處的切線斜率，得到切線方程，再由解析幾何的知識求得三角形面積，這題屬于中等題。求導實質上是取極限的過程，應用無限的思想來解決，這是導數解決問題的基本思想方法。

例4：（2011年天津卷理科數學19題） 已知a>0，函數f(x)=lnx-ax2，x>0，（f(x)的圖像連續不斷）。

（Ⅰ）求f(x)的單調區間；（Ⅱ）當a=■時，證明：存在x0∈(2，+∞)，使f(x0)=f(■)；（Ⅲ）若存在均屬于區間[1，3]的α，β，且β-α≥1，使f(α)=f(β)。證明：■≤a≤■。

分析：題中（Ⅰ）在a>0的條件下，由于a是不確定的，隨著a的改變，f(x)所表示的函數也會跟著改變，此時求f(x)的單調區間，這是無限的問題。（Ⅱ）中給定a=■，這其中蘊含著一般中的特殊思想，體現著無限中的有限問題。（Ⅲ）中由于f(x)是x>0上的連續函數，故函數在閉區間[1，3]上一定有單調區間和極值，由此就可以利用函數的單調性證明不等式成立。

利用無限思想指導解決有限問題，同時在其他數學思想方法的運用過程中滲透有限與無限思想，是高考數學中經常出現的一類題型。

三、數學歸納法中的有限與無限

從這幾年的高考試題可以看出，數列與數學歸納法的結合一直是高考的重點，主要是以解答題為主。不但要求能用數學歸納法證明結論，還加強了對不完全歸納法的考查，既要求歸納發現結論，又要求能證明結論。

例5：（2011年山東卷理科數學15題）設函數f(x)=■(x>0)觀察：

f1(x)=f(x)=■，

f2(x)=f(f1(x))=■，

f3(x)=f(f2(x))=■，

f4(x)=f(f3(x))=■，

......

根據以上事實，由歸納推理可得，當n∈N+且n≥2時，fn(x)=f(fn-1(x))= 。

分析：依據題目特征，不難發現，每個函數右邊分式的分子都是x，分母中x的系數為2n-1，常數是2n，所以fn(x)=■。本題屬于歸納猜想題，考查學生觀察和歸納猜想的能力，需要細心觀察，整體把握函數間的變化規律，發現分母之間的相互關系，猜測出合乎題意的等式。（下轉第128頁）

（上接第16頁）例6：（2010年全國卷Ⅰ22題） 已知數列{an}中，an=1，an+1=c-■。

（Ⅰ）設c=■，bn=■，求數列{bn}的通項公式；（Ⅱ）求使不等式an

分析：（Ⅰ）中對于題目所給的遞推關系，當c=■時，數列{an}也就確定了，這體現了無限中的有限問題。第（Ⅱ）問可以先用數學歸納法證明c>2，再進行進一步的分類討論確定c的范圍；或者先由an

總之，有限與無限思想方法的運用，為學生數學思維的發展提供了廣闊的空間，在未來高考中的應用也會越來越廣泛，所以在平時的學習中應該適當加強有限與無限思想方法的滲透。

注：本文系廣西研究生教育創新計劃資助項目（編號20101060 3R08）階段性成果之一。