讓操作更“進(jìn)”一步

　　新課程倡導(dǎo)動(dòng)手實(shí)踐、自主探索和合作交流等學(xué)習(xí)方式，把動(dòng)手實(shí)踐提升到了新的、更重要的高度。現(xiàn)在，許多教師已經(jīng)認(rèn)識(shí)到操作的重要性，開始重視學(xué)生的操作活動(dòng)，課堂面貌發(fā)生了可喜的變化。但綜觀許多操作活動(dòng)，筆者發(fā)現(xiàn)：學(xué)生只是較多地動(dòng)手、動(dòng)眼和動(dòng)口，未充分地動(dòng)腦，他們的許多認(rèn)識(shí)僅僅停留在感性層面，其自主探究和抽象思維等能力并未因此得到有效的培養(yǎng)。為此，筆者建議：讓操作更“進(jìn)”一步，即讓操作“進(jìn)”到探尋數(shù)學(xué)思想，“進(jìn)”到利用表象進(jìn)行思維，“進(jìn)”到揭示研究方法的層面。現(xiàn)結(jié)合實(shí)例談?wù)劰P者的一些做法：
　　一、 “進(jìn)”到探尋數(shù)學(xué)思想
　　數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)活動(dòng)中解決問題的基本觀點(diǎn)和根本方法，是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)認(rèn)識(shí)。由于數(shù)學(xué)思想方法常是內(nèi)隱的，學(xué)生難以察覺，為此，教師要引導(dǎo)學(xué)生透過外顯的操作活動(dòng)，探尋內(nèi)在的數(shù)學(xué)思想方法，做到既立足于當(dāng)前操作，又在適當(dāng)?shù)臅r(shí)候跳出直觀的、具體的操作，從相對(duì)抽象、更為一般的層面上把握知識(shí)，從而把認(rèn)識(shí)和推理提升到一個(gè)更高的水平。
　　如在教學(xué)四年級(jí)上冊(cè)“角的認(rèn)識(shí)”時(shí)，對(duì)于不易直接看出大小的兩個(gè)角，教師常啟發(fā)學(xué)生操作活動(dòng)角進(jìn)行比較，即先把活動(dòng)角與需要比較的一個(gè)角完全重合，再把這個(gè)活動(dòng)角捏緊“固定”，移到待比的角上，分別重合頂點(diǎn)和一條邊，從而比出大小。最后通過討論和交流，總結(jié)出比法：頂點(diǎn)重合，一邊重合，看另一邊，哪個(gè)角的另一邊在外，那個(gè)角就大。教學(xué)到此結(jié)束。筆者認(rèn)為，這樣做還不夠，還應(yīng)更“進(jìn)”一步。教師應(yīng)從數(shù)學(xué)思想方法的高度讓學(xué)生進(jìn)一步理解此法，以深化認(rèn)識(shí)。筆者在此基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生回憶：在剛學(xué)習(xí)“線段的認(rèn)識(shí)”時(shí)，對(duì)于不能直接看出長短的兩條線段，我們是怎么比的——先重合它們的一個(gè)端點(diǎn)，再看另一端點(diǎn)，哪條線段的另一端點(diǎn)在外，那條線段就長；在剛學(xué)習(xí)“面積的認(rèn)識(shí)”時(shí)，對(duì)于不能直接看出面積大小的兩個(gè)長方形，我們可怎么比——先重疊，再比較剩余部分，如果剩余部分還是不能直接比較大小，就通過剪、移等方法再重疊……直至比出大小，或通過擺相同的小方塊，通過數(shù)個(gè)數(shù)比出大小。筆者引導(dǎo)學(xué)生分析、比較，逐步概括出它們的共同點(diǎn)，從而歸納出隱含其中的數(shù)學(xué)思想方法——對(duì)應(yīng)與重合。這樣，從特殊到一般，從具體到抽象，從感性到理性，超越了具體的操作活動(dòng)，學(xué)生就容易形成“方法鏈”。其實(shí)，在“空間與圖形”領(lǐng)域，對(duì)應(yīng)與重合運(yùn)用得較多，各種測(cè)量在本質(zhì)上都是對(duì)應(yīng)，只不過有的是直接對(duì)應(yīng)，有的是間接對(duì)應(yīng)。
　　及時(shí)探尋和提取操作中的數(shù)學(xué)思想方法，會(huì)使學(xué)生對(duì)方法的理解更深刻，學(xué)生也易自覺遷移和主動(dòng)運(yùn)用這些思想方法，形成方法體系。
　　二、 “進(jìn)”到利用表象進(jìn)行思維
　　表象源于感知，高于感知，具有直觀形象性和初步概括性的雙重特點(diǎn)，是人們的認(rèn)識(shí)由感知向抽象思維過渡的中間環(huán)節(jié)。有了表象，就有了記憶，就可能發(fā)生思維、想象等智力活動(dòng)。在“空間與圖形”領(lǐng)域，由于許多知識(shí)的抽象程度高，而小學(xué)生的思維正處在具體形象思維為主向抽象邏輯思維為主的過渡階段，他們的抽象思維水平在很大程度上依賴于形象或表象的支撐，所以，我們確實(shí)需要加強(qiáng)操作活動(dòng)，以幫助學(xué)生獲得準(zhǔn)確、鮮明的表象，并儲(chǔ)存相關(guān)的表象。但我們也不能過多地依賴、或停留于操作，因?yàn)槟菢訒?huì)“折斷”學(xué)生想象的翅膀，影響空間觀念的形成。我們需要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)用表象進(jìn)行思維，以增強(qiáng)空間知覺。
　　如在教學(xué)六年級(jí)“長（正）方體的認(rèn)識(shí)”后，蘇教版教材新增一節(jié)課，專門研究長（正）方體的展開圖。書中有這樣一題：
　　下面哪些圖形沿虛線折疊后能圍成正方體？先想一想，再把第121頁的圖形剪下來試著折一折。
　　許多教師在學(xué)生猜想、操作驗(yàn)證后，就結(jié)束了教學(xué)。筆者認(rèn)為，這樣就弱化了此題培養(yǎng)學(xué)生空間想象力的功能。其實(shí)，教材編排此題的目的是想讓學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)識(shí)長（正）方體的特征，熟悉長（正）方體的各個(gè)面、棱和頂點(diǎn)在展開圖中的位置及其分布，能讓學(xué)生在平面圖與立體圖之間進(jìn)行轉(zhuǎn)換，以發(fā)展空間觀念，并為教學(xué)“表面積”作準(zhǔn)備。教師理應(yīng)深入鉆研教材，切實(shí)把握編排意圖，充分挖掘和發(fā)揮習(xí)題的教育價(jià)值。對(duì)于上題，筆者在學(xué)生第一次猜想和操作后，更“進(jìn)”一步，要求學(xué)生操作后再想象：即對(duì)上述每幅圖先假定其中一個(gè)正方形為正方體的底面，再站在同一位置，想象并標(biāo)注出其他正方形在立方體中的可能位置（如前、后、左、右、上面），想象有無重疊或缺少的面。然后，引發(fā)學(xué)生再次進(jìn)行操作驗(yàn)證的需求，讓其進(jìn)一步體會(huì)表象和想象的作用。學(xué)生不斷地猜想，不斷地操作驗(yàn)證，逐步從借助操作，驗(yàn)證猜想過渡到直接在“腦中折”，速度越來越快，其思維水平逐漸從動(dòng)作思維過渡到表象思維，再提升到抽象思維。
　　實(shí)踐證明，在“空間與圖形”領(lǐng)域，學(xué)生表象儲(chǔ)備得愈多，愈有利于問題的解決，愈有利于空間觀念的形成。為此，教師一定要把握學(xué)科特點(diǎn)，明確操作目的，提升操作的思維層次，積極為發(fā)展學(xué)生的抽象思維服務(wù)。要通過操作活動(dòng)，幫助學(xué)生建立和獲得、豐富和積累表象，以便喚起和提取表象，特別要善于引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)表述的文字或語言，再現(xiàn)相應(yīng)的表象，必要時(shí)外化表象。
　　三、 “進(jìn)”到揭示研究方法
　　操作是一種重要的探究方式，是獲取新知的重要途徑。其實(shí)，研究方法也是一種重要的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。在進(jìn)行操作時(shí)，我們?nèi)缒苓m時(shí)揭示探究方法，并使學(xué)生具體感受到這種方法，就能為其今后自主設(shè)計(jì)操作活動(dòng)，自主研究問題奠定基礎(chǔ)。
　　如在教學(xué)六年級(jí)上冊(cè)“長方體的體積”時(shí)，在學(xué)生理解和掌握了“計(jì)量一個(gè)物體的體積，就看它包含多少個(gè)體積單位”后，筆者進(jìn)行了如下的教學(xué)：先讓學(xué)生猜測(cè)，長方體的體積可能與它的什么有關(guān)？學(xué)生結(jié)合生活經(jīng)驗(yàn)和已有知識(shí)，大都認(rèn)為與它的長、寬、高有關(guān)。接著，筆者引導(dǎo)學(xué)生通過操作進(jìn)行探究。筆者出示一塊長4厘米，寬1厘米，高1厘米的長方體橡皮，問學(xué)生：它的體積是多少？學(xué)生認(rèn)為它的體積是4立方厘米，并用操作進(jìn)行說明。筆者引導(dǎo)學(xué)生思考：假如我們讓這個(gè)長方體的長、寬、高中任意兩個(gè)量不變，只變化其中一個(gè)量，它的體積會(huì)發(fā)生怎樣的變化呢？學(xué)生借助操作、分析和比較，發(fā)現(xiàn)：當(dāng)寬和高都不變，只變化它的長時(shí)，長越長，體積越大，如果長是原來的幾倍，體積就是原來的幾倍；同樣，當(dāng)長方體的長和寬都不變，只變化它的高時(shí)，高越長，體積越大，如果高是原來的幾倍，體積就是原來的幾倍；當(dāng)長和高都不變，只變化它的寬時(shí)，寬越長，體積越大，如果寬是原來的幾倍，體積也是原來的幾倍。
　　這時(shí)，筆者引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步思考：假如我們讓長方體的長、寬、高中任意一個(gè)量不變，變化另外兩個(gè)量，它的體積會(huì)發(fā)生怎樣的變化呢？學(xué)生通過猜想、操作、分析和比較，發(fā)現(xiàn)：當(dāng)長不變，只變化它的寬和高時(shí)，寬和高的積越大，體積越大，如果寬和高分別是原來的3倍、2倍，體積就是原來的6倍；當(dāng)寬不變，只變化它的長和高時(shí)，長和高的積越大，體積越大，長和高分別是原來的3倍、4倍，體積就是原來的12倍；當(dāng)高不變，只變化它長和寬時(shí)，長和寬的積越大，體積越大，長和寬分別是原來的2倍、4倍，體積就是原來的8倍。
　　最后，筆者引導(dǎo)學(xué)生深思：假如長方體的長、寬、高都確定時(shí)，它的體積還會(huì)變化嗎？學(xué)生通過猜想、操作、分析和比較，發(fā)現(xiàn)長方體的體積是確定的，正好是長、寬、高三者的積，從而得出體積計(jì)算公式。
　　這樣做易使學(xué)生清楚地發(fā)現(xiàn)數(shù)量之間的變化，學(xué)生也易學(xué)到一種簡明的、常用的研究問題的方法——變量控制法，即先使兩個(gè)量不變，變化一個(gè)量；再使一個(gè)量不變，變化另兩個(gè)量；最后讓三個(gè)量都不變，分別研究數(shù)量之間的關(guān)系。
　　其實(shí)，在“空間與圖形”領(lǐng)域中，運(yùn)用得較多的是轉(zhuǎn)化。我們不但要有機(jī)滲透抽象的轉(zhuǎn)化思想，還要適時(shí)揭示具體的轉(zhuǎn)化方法，這樣才便于問題的解決。學(xué)生即使遺忘了有關(guān)公式，也能憑借具體的操作方法重新發(fā)現(xiàn)規(guī)律。如在研究平面圖形的面積時(shí)，常用倍比法、割補(bǔ)法，或依靠中位線進(jìn)行等積變形等。其實(shí)，在這些方法中均運(yùn)用了變量控制法。適時(shí)揭示這些操作方法，學(xué)生自主研究問題、解決問題的本領(lǐng)就會(huì)大大增強(qiáng)。