基于概念學習，超越概念認知

　　近日，因執教北師大版教材《周長》一課，故對此內容有了較為深入的思考。《周長》一課，北師大版教材安排在三年級上冊。在學習此內容前，學生已經認識了一些基本立體圖形，初步了解了平面圖形與立體圖形之間的聯系，知道了長方形、正方形、平行四邊形等一些平面圖形的基本特征，并已習得了一定的測量線段長度的經驗。筆者主要圍繞以下三個層面進行分析與思考。
　　一、 “周長”到底是什么？學生已具有怎樣的“周長”前概念？
　　關于“周長”的概念，教材是這樣定義的：“圖形一周的長度，就是圖形的周長。”簡單的一句話，兩個關鍵詞：“一周”和“長度”，其實表明了周長的“一緯”特質和“長度”屬性。那么，對于學習這個內容前的學生而言，“周長”又具有怎樣的前概念呢？筆者對兩個班102名學生進行了調查。
　　調查分為兩個部分。第一部分，以“你聽說過周長嗎？”為題，了解學生對“周長”這一數學概念的知曉情況。結果答“聽說過”的學生有11人，占被調查總人數的10.8%；“沒聽說過”的學生近九成。又對“聽說過”的學生進行訪談后了解到，9人為爸爸媽媽教過，2人為看書知道。
　　調查的第二部分，嘗試完成任務（沒聽說過的，則憑自己的理解去猜一猜）：下面的圖形有沒有周長？如果有，請你用彩色筆描出它的周長在哪里？
　　調查結果：
　　1.“聽說過”的11人中，認為2號“角”沒有周長的3人，占“聽說過”總人數的27.3%，其中僅1人認為4個圖形中只有“角”沒有周長。錯誤情況中包括：描了4個圖形的部分邊，描了4個圖形的角，涂了①號圖形的面積等。后又對僅認為“角”沒有周長的學生進行訪談，該生能夠說明：因為這個圖形兩條邊沒有連起來。再問是怎么知道的？告知是爸爸教過的。
　　2.“沒聽說過”的91人中，認為2號“角”沒有周長的28人，占“沒聽說過”總人數的30.8%，但也僅2人認為4個圖形中只有“角”沒有周長，其余26人均把“角”和其他某個圖形一起看作沒有周長。主要錯誤同樣是描了4個圖形的部分邊，描了4個圖形的角，涂了①號圖形的面積等。后也同樣對僅認為“角”沒有周長的學生進行訪談，兩位學生均告知是猜的。
　　從調查可知，學生對“周長”作為一個數學概念，知曉率并不高。而從學生嘗試指出“圖形周長”的調查又可知，近80%學生對“周長”認識相當模糊，且有三分之一的學生一點經驗都沒有。
　　二、 通過《周長》一課的學習，學生對“周長”概念的理解達到怎樣的程度才是合理的？
　　在本節課學習之前，學生對于作為數學概念的“周長”，雖然知之甚少，有的甚至一點經驗也沒有，但從學生的嘗試中可以看出，由于前有一些平面圖形的認識及長度測量的經驗，超過半數以上的學生對基于直觀認識的“周長”的理解應該不太難。因此，本節課的教學目標確定如下：
　　1.認識圖形的周長，理解圖形周長的含義，并能夠根據確定的周長在點子圖上畫出相應的圖形。
　　2.會測量圖形的周長，并能夠在教師的啟發下想到用“化曲為直”的方法，測量一些曲線圍成的圖形的周長。
　　實踐時，兩個目標可以分解成四個學習層次：層次一，知道圖形一周的長度，就是這個圖形的周長；層次二，能夠描出某個圖形的周長；層次三，能夠測量基本平面圖形的周長；層次四，能夠根據圖形的周長想象出圖形。四個層次層層推進，相互支撐。知道周長概念是達成后面學習的基礎，指出圖形周長和測量基本平面圖形的周長，既是反映學生對“周長”意義是否理解的過程性層次，同時又是逐步引導學生深入體驗圖形周長、理解周長意義的過程。第四個層次則是最高層次的學習目標。因為這不僅是引導學生繼續體驗圖形周長的意義，同時又是學生空間觀念培養的重要過程，是幾何直觀在思維層面上的體現，是一種充分體現數學思考的目標層次。
　　三、 基于“周長”學習的活動，怎樣組織才能既圍繞教學核心，又利于提升學生的數學思維？
　　基本學習材料的選擇，當然需要有利于喚起學生已有的認知經驗，同時也能幫助學生很好地理解周長意義。而學習活動設計需要留給學生充分的思考空間，突出數學思考的含量，并有相應的思維推進層次。現結合具體的教學過程加以分析。
　　1.三個關鍵活動的設計及實施
　　活動一：觀察描述，感知周長。
　　1.情境引出“一周”的概念。
　　呈現情境圖，請學生說說圖中所講的事情。
　　師：她在做什么？
　　生：量腰圍。
　　師：腰圍是什么意思？
　　生：就是腰部一周的長度。
　　順勢板書：一周的長度
　　2.指出平面圖形的“一周”，導出周長。
　　呈現學生在二年級下冊已經認識的平面圖形——長方形、正方形、平行四邊形。
　　師：這些圖形有沒有“一周的長度”？有，又在哪里呢？
　　請學生指出這些圖形一周的長度。揭示概念：圖形一周的長度，就是它的周長
　　活動二：描、量周長，理解意義。
　　1.結合概念，指出以上三個平面圖形的周長，教師根據學生的說明，用多媒體操作演示圖形的周長。
　　2.練習：下面的圖形有沒有周長？如果有，請你用彩色筆描出它的周長。
　　學生先在練習紙上獨立完成，反饋時分解為兩個層次：
　　層次一：確認這些圖形有沒有周長？為什么？
　　最后學生都認為③號圖形沒有周長。理由是“角”不是封閉圖形。于是教師完善板書：封閉圖形一周的長度，就是這個圖形的周長。
　　層次二：指出其他圖形的周長。教學中，學生對④號圖形的周長認識有困難，作重點討論。
　　3.度量圖形周長。
　　師：如果想具體知道1號和5號圖形的周長，你有什么辦法？
　　學生活動，自主研究。
　　反饋①號圖形，用尺量出3條邊的長度加起來即為圖形的周長。
　　反饋⑤號圖形，直尺量不行，只能想其他辦法量這條線的長度。這是本節課中富有挑戰性的學習環節，有利于激起學生的思考。
　　最終得出結論：周長是可以測量的，當周長不是由線段組成時，我們可以把它轉化成線段來測量。
　　活動三：逆向研究，發展思維。
　　師：同學們已經知道什么是圖形的周長了。現在老師想請你設計一個周長是10厘米的圖形，你想怎樣設計？
　　給學生一定的思考時間后，請他們在點子圖上畫出圖形。
　　學生完成后分三個層次反饋：
　　層次一：畫了不封閉圖形的情況。師：這位同學是這樣畫的，你們同意嗎？（強調，不封閉圖形是沒有周長的。）
　　層次二：畫了長方形或正方形的情況。確認這個圖形的周長是不是10厘米？如何確認？（引導學生去數，當然對長方形和正方形特征掌握比較好的，可用它們的特征作說明。）
　　層次三：畫了其他不規則的圖形。討論如何來確認圖形的周長，主要說明：這個圖形的周長是不是10厘米？請學生通過“數”來確認。“數”的過程中，鞏固對周長“一周”的長度的理解。
　　2.實踐后的思考
　　（1）數學概念的建構，需要經歷表象建立和豐富的過程。數學概念的理解與掌握，不僅僅指知道相關的文字描述，它更需要體現在多角度思維把握的過程中。因此，在概念學習的過程中，建立起豐富的表象是數學概念學習必須經歷的過程。以上三個層次的“周長”學習活動正是如此。
　　感知環節，描述周長。這是一個“知道周長”的過程。從生活概念“一周”導入到圖形“一周”的認識，揭示概念，像這樣“圖形一周的長度”，就是圖形的周長。當然，這個過程并不是一步到位的，而是通過對三個已認識的平面圖形一周的感知，逐步深刻起來的。第一個圖形（長方形）的“一周”，指名學生指出，媒體演示，學生觀察印刻于腦海中；第二個圖形（正方形）的“一周”，學生先指出，再媒體演示，學生書空描畫；第三個圖形（平行四邊形），先描畫，再媒體演示，再描畫。通過三個圖形周長的描畫，幫助學生初步建立圖形周長的直觀表象。
　　描、量環節，理解周長，是本節課中的重點活動，也是學生建立起“周長”表象的關鍵環節。請學生先判斷圖形有沒有周長，再描出圖形周長的過程，是一個學生自主建構“周長”概念的環節。反饋時又分三步，逐步完成。
　　第一步：明晰這些圖形有無周長。課上主要借助圖3中的圖形③來進一步認識圖形周長的概念。因為幾次教學中，總有學生描了這個圖形（“角”）的周長。于是請學生自主辯論，最后得出結論：這個圖形沒有周長，因為它不是封閉圖形，沒有一周，所以沒有周長，從而完善對周長概念的認識。
　　第二步：描出復雜圖形的周長，即圖3中的圖形②花朵圖案的周長，引導學生深刻認識圖形的周長是圍繞在圖形外圍一周的長度。這同樣是一個完善認識的重要步驟。
　　第三步：測量圖形的周長。以圖3中的①號三角形和⑤號圓為材料，請學生量出這兩個圖形的周長，引導學生在度量過程中進一步認識到周長的“長度”屬性，也即周長是可測量的。實際教學中，學生能夠從中感悟到周長的“長度”屬性。他們很自然地用尺量出了三角形三條邊的長度。此時引導學生體會，三條邊的長度和便是這個三角形的周長，加深對周長意義的理解。而測量圓的周長時，學生碰到了測量技術上的困難，但其測量這條曲線長度的意向還是相當明確，說明學生對圓周長的認識還是清楚的。
　　（2）組織富有挑戰性的學習活動，讓學生的思維得以提升。數學學習必須有學生數學思維經歷的過程，而激發學生的數學思考，富有挑戰性的學習任務設計是重要的因素。本節課中，兩個環節的學習任務，充分體現了數學學習任務的挑戰性特點。
　　①測量圓的周長。學生已有的測量長度的經驗，只是停留于對線段長度的測量。當碰到如同圓的周長這樣的長度測量時，還是碰到了不小的困難。而正因為解決這個問題沒有現成的辦法，需要突破常規，創新思路，所以更有挑戰性和思考的價值。實踐中，也確實有學生想到了解決的辦法。
　　有一位學生想到，將圓周平均分成16份，然后用尺量出其中一份的長度，再乘以16，就是這個圓的周長。于是，有學生想到了再分下去，我想這已經接近于古時測量圓周長的“割圓術”了。
　　還有學生想到，用一把軟尺繞在圓周上，進行直接測量。這樣的想法，也頗有創意，當我們不能把直尺彎過來時，我們可以將尺變軟。
　　當然，實際教學中，也確實有學生想到，先用一根線繞在圓周上，然后將正好繞圓一周的線剪下來，用直尺測量線的長度，也就測量出圓的周長了。這便是典型的“化曲為直”的思想了。
　　②點子圖上畫出周長為10厘米的圖形。此學習任務的目標是使學生進一步理解圖形周長的本質內涵。同時，在學生的反饋中，有多種的表示形式，可以作為提高學生空間想象能力、發展空間觀念的重要素材。
　　學生的作業也反映了不同的思維水平。水平一，只能畫出一個長方形（如圖形①或圖形②）；水平二，能畫出兩個長方形，即圖形①和圖形②；水平三，能畫出如圖形③、圖形④、圖形⑤這樣的不規則圖形。
　　當有學生呈現了如圖形③這樣的圖形時，有學生發出了驚嘆聲，相信是這些有創意的作業給了他一種恍然大悟的感覺。而這樣的思維過程，也正是學生有創意的思考解決問題的表現。這樣的想象力和思考力，也同樣是學生空間觀念培養的重要方