數形結合，讓數學學習更有意義

　　數形結合是一種重要的數學思想方法，其實質是通過數與形的對應及相互轉換，使數量關系的精確刻畫與空間形式的直觀形象巧妙、和諧地結合在一起，充分利用這種結合，尋找解題思路，可以使問題化難為易、化繁為簡，從而得到解決。在引進新知、建構概念、解決問題時，適當地把握好數形結合的度，還能激發學生的興趣，發展學生的想象力，提升學生的思維能力。
　　一、 數形結合，化抽象概念為具體形象
　　心理學研究表明：小學生的思維以具體形象思維為主，逐步向抽象邏輯思維過渡；由具體運算為主，逐步向形式運算過渡，這是一個緩慢的、漸進的發展過程。而小學階段的數學概念大多具有簡潔、抽象的特點，為了使學生準確地理解數學概念，需要教師充分利用直觀教學，借助數形結合，引導學生去觀察比較，化抽象為具體形象。
　　例如，在教學“10以內的數”時，通過數一數實物有幾個，逐步建立起“幾個物體”與“數字幾”之間的關系，使學生頭腦里形成數的表象，再逐步過渡到抽象的數的概念。在教學“十幾”時，通過擺小棒認識到“1捆加幾根”就是“十幾”，并能逐步形成表象，最后幫助學生抽象出“1個十和幾個一合起來是十幾”的概念。認識“分數”時，借助直觀操作與對比分析，理解“把一個物體平均分成幾份，其中的一份或幾份就是幾分之一或幾分之幾”。在數的概念的教學中，通過化數為形的方法，使抽象的數變得更直觀、更豐富，便于學生把握其實質。在推導有關數學公式的過程中，借助圖形可以充分理解公式的含義，使公式形象化、直觀化。如計算“長方形的周長”可以有幾種不同的方法：長+寬+長+寬；長×2+寬×2；（長+寬）×2。相對于前兩種方法，學生在理解第三種方法時有些困難。教學時通過擺一擺、畫一畫、分一分等方法幫助學生理解“長+寬”指的是哪兩條線段的長？再理解“×2”得出的又是什么？通過具體演示與比較概括，學生理解了第三種計算周長的方法，并能正確運用。在圖形面積、體積等計算公式推導的過程中，無一不需要借助直觀形象化的操作與演示，讓學生經歷“直觀感知→表象形成→抽象概括”的學習過程。
　　二、 數形結合，融通算理與算法
　　在小學數學教學中，大量的內容是計算問題，學生計算能力的強弱在一定程度影響了小學生的數學學習質量。在教學中首先要引導學生理解算理，形成算法。算理就是計算的道理，唯有對計算的道理明白清晰，方能正確建構算法，并能熟練計算。因此，教學時教師可以引導學生借助數形結合的方法理解算理，并在理解算理的基礎上指導學生概括、形成算法，使學生“知其然，更知其所以然”。
　　例如，教學“3+2=5”時，通過直觀形象的動態演示，使學生明白“把3個人和2個人合起來是5個人”，知道“合起來”可以用加法計算。對于一些學習困難的學生，擺小棒、數實物等方法有利于他們獲得對加法意義的理解，并能逐漸建構正確算法。當然，算法的形成需要經歷“直觀形象→表象中介→抽象概括”的過程。又如，學習分數加減法時，學生借助直觀形象的長方形圖分一分、涂一涂，理解“3個1/8加上2個1/8是5個1/8”的本質內涵，繼而發現同分母分數加法的計算方法。像這樣，把抽象的算式及時形象化，學生看到算式就聯想到圖形，看到圖形能聯想到算式，更加深刻地感悟算理、形成算法，真正理解運算的意義。
　　三、 數形結合，理清數量之間的邏輯關系
　　教材依據算用結合的原則，結合計算教學編排了大量的實際問題，正確解決實際問題的關鍵是理解數量關系。對于小學生來說，借助于數形結合的方式，能將一些抽象或隱蔽的數量關系變得更具體、直觀，使復雜的問題簡單化。同時，豐富的轉化過程也能調動學生主動積極地參與學習，提高學生的思維能力。
　　例如，“連乘實際問題”：“桃樹有48棵，梨樹的棵數是桃數的3倍，蘋果樹的棵數是梨樹的2倍。蘋果樹有多少棵？”題中涉及三種樹的棵數，三種數量之間的相互關系較為復雜。借助線段圖可以直觀地表示數量之間的關系：
　　從圖中學生可以清楚地找出三種樹之間的關系：桃樹的棵數×3=梨樹的棵數，梨樹的棵數×2=蘋果樹的棵數。同時，一部分學有余力的學生還能發現蘋果樹與桃樹之間的倍數關系：3×2=6，即把蘋果樹的每一份又平均分成3份，這樣就把“蘋果樹的棵數”轉化成“桃樹的6倍”。中間數量“梨樹的棵數”起到了橋梁中介的作用。通過這樣的直觀圖示，學生清晰地理解了蘋果樹和桃樹之間的倍數關系，也為學生解答兩步連乘的實際問題拓寬了思路。
　　又如，“小明看一本書，第一天看了全書的一半，第二天看了剩下的一半，還剩30頁。這本書有多少頁？”對于二、三年級的學生來說，這里的數量關系較為復雜，對兩次“一半”的意義理解是解題的關鍵。因此，可以借助圖形或線段圖幫助理解：把整本書看成一個整體，第一天、第二天看的頁數可以清晰地在圖上表示出來（如圖2）。
　　從圖中可以看出，第二天看的和剩下的30頁是一樣多的，2個30頁相加的和又和第一天看的頁數是同樣多的，所以整本書的頁數是：30×2=60（頁），60×2=120（頁）；或者30×4=120（頁）。正因為有了直觀圖示的輔助，使抽象復雜的數量關系變得清晰簡單，便于學生分析與解答。借助圖形或線段圖的方法在和差、和倍、盈虧、找規律等問題中也能得到廣泛的應用。
　　四、 數形結合，滲透初步的函數思想
　　在小學階段滲透的函數思想方法主要是使學生通過具體事例與直觀形象發現一切事物都是在不斷變化著，同時也是相互聯系與相互制約的，從中能發現事物的變化趨勢和運動的規律，也能為中學學習函數奠定良好的基礎。
　　例如，“確定位置”中，讓學生用數對表示平面圖形中點的位置，同時也能根據數對確定點在平面圖中的位置。根據平面圖形中點的位置形象地尋找各點之間的關系，并在點的平移、變化中發現數對的變化。在點與數對的對應或變化中，學生能更清楚地理解數與形的意義。
　　又如，在教學“正比例”時，教師不僅利用統計表來研究數量之間所體現的規律，還利用動態的方式將函數圖像形成的過程展示出來，借助圖像來研究正比例函數。
　　一輛汽車在公路上行駛，行駛的時間和路程如下表。
　　從統計表中學生能初步體會到“隨著時間的變化，路程也在變化，但速度保持不變”；從直角坐標圖中也可以發現這一規律，并能從這條直線中發現變化的規律。在正比例函數圖像的形成過程中，學生不僅能感受到數據之間的一一對應和連續性，在“正比例的關系式”與坐標圖中的“一條直線”之間建立起聯系，而且還能在動態的過程中形成了對正比例函數直觀的認識，更好地幫助學生把握數量間的變化規律，使學生由具體形象的靜態認識提高到在運動、變化中去概括，形成正確的表象信息，真正深化對正比例意義的理解。
　　“數”和“形”是緊密聯系的，在研究“數”的時候，往往會借助于“形”的直觀，在探索“形”的特征時，往往又會聯系“數”的簡潔。教師要從數學發展的全局著眼，從具體的教學過程著手，有目的、有計劃地滲透數形結合思想的教學，使學生逐步形成數形結合思想，并使之成為學習數學、解決數學問題的工具，切實提升學生的數學素