轉化思想在數學高考中的應用

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(杭州師范大學附屬中學 浙江杭州 310030)

轉化思想在數學高考中的應用

●景芳

(杭州師范大學附屬中學 浙江杭州 310030)

1 高考展望

1.1 考點分析

著名數學家波利亞曾說：“如果不‘變化問題’我們幾乎不能有什么進展．”把求解的問題轉化為在已有知識范圍內可解的問題，是數學解題中基本的思想方法之一，即轉化思想．轉化思想是中學數學最基本的思想方法，堪稱數學思想的精髓，核心體現為：把新的轉化為舊的；把未知的轉化為已知的；把復雜的轉化為簡單的；把抽象的轉化為直觀等的過程．

數學中一切問題的解決都離不開轉化．如：數形結合思想體現了代數問題與幾何問題之間的相互轉化；函數與方程思想體現了函數、方程、不等式間的相互轉化；分類討論思想體現了局部與整體的相互轉化；立體幾何問題，通常要轉化為平面幾何問題；多元問題，要轉換為少元問題；高次函數、高次方程問題，轉化為低次問題，特別是熟悉的一次、二次問題；對于復雜的式子，通過換元轉化為簡單的式子等等都是轉化思想的具體體現．各種換元法、變量分離法、反證法、待定系數法、構造法、模式識別法、特殊值法等都是轉化的手段．

通過不斷地轉化，把不熟悉、不規范、復雜的問題轉化為熟悉、規范、簡單的問題．應用轉化思想不但可以巧妙簡捷地解決問題，而且通過解題還可以提高思維水平，培養創新能力和分析問題、解決問題的能力．歷年高考，等價轉化思想無處不見，我們要不斷培養和訓練自覺的轉化意識，強化解決數學問題中的應變能力，提高思維能力和技能、技巧．如2011年的浙江省數學高考卷中從第3題開始無一不用到轉化的思想．

1.2 命題趨勢

新課程《標準》明確提出：提高學生的數學思維能力是數學教育的基本目標之一．數學思維能力在形成理性思維能力中發揮著獨特的作用.對數學思想方法的考查是對數學知識在更高層次上的抽象和概括的考查，《標準》自始至終力求體現有利于提高學生數學思維能力這一基本理念．

教學目的要求進一步做到：使學生學好……基礎知識、基本技能以及其中的思想方法．《考試說明》中所指的數學知識包含2個方面：一是數學內容；二是數學意識，即數學內容中蘊含的數學思想和方法，它是數學知識在更高層次上的抽象和概括，蘊含在數學知識的發生、發展和應用過程中，能夠遷移并廣泛應用于相關學科和社會生活中，其中轉化思想是最基本、最重要、應用最廣泛的數學思想之一，是數學思想的精華．轉化思想對于解決問題具有普遍的指導意義，而轉化意識、轉化能力的高低是衡量一個人數學水平高低的標志之一．

縱觀近幾年的數學高考，等價轉化思想無處不在，自覺的轉化意識是數學解題的根本．

2 典例剖析

2.1 轉化的基本點

當面對一個陌生的問題時，問題的條件和結論是實現有效轉化的基本點，從中尋找聯系和區別，結合所學的知識、技能和方法，通過一系列的觀察、分析、類比、聯想等思維過程，選擇恰當的數學方法進行轉化．

2.1.1 “順流直下”,由條件逐層轉化

例1已知二此函數f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R),記an=f(n+3)-f(n)(n∈N+),若數列{an}的前n項的和Sn單調遞增，則下列不等式總成立的是

( )

A.f(3)>f(1) B．f(4)>f(1)

C.f(5)>f(1) D．f(6)>f(1)

分析初看題目與選項關系不明朗，于是試著從已知條件著手.因為

an=f(n+3)-f(n)(n∈N+)，

f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R)，

所以可選擇代入法把抽象的an具體化，代入化簡后得an=6an+9a+3b，問題轉化為等差數列滿足什么條件時，Sn單調遞增，顯然

點評順應題目條件，對條件進行合理的轉化，頓時讓抽象、復雜的問題變得具體和簡單，對題目條件進行轉化是解題的基本著力點．

2.1.2 “移花接木”,條件結論交互轉化

例2設x,y為實數，若4x2+y2+xy=1，則2x+y的最大值是________.

解法1設2x+y=t，則

y=t-2x,

代入4x2+y2+xy=1中得

6x2-3tx+t2-1=0,

將它看作一個關于x的二次方程，則需要滿足判別式大于等于0，即

Δ=(3t)2-4·6·(t2-1)≥0，

解得

變式設x,y為實數，若4x2+4y2-5xy=5，則x2+y2的最小值是________.

點評遇到條件和結論都較陌生，且無從下手時，可尋找條件和結論之間的聯系，利用結構特征或換元、返代等手段，化異為同，移花接木，把問題轉化為熟悉的問題．

2.2 轉化的熱點

2.2.1 通過數學建模轉化實際應用問題

新課程《標準》力求使學生體驗數學在解決實際問題中的作用、數學與日常生活及其他學科的聯系，感受數學的實用價值，促進學生逐步形成和發展數學應用的意識，提高實踐能力．課程目標要求發展數學應用意識和創新意識，力求對現實世界中蘊涵的一些數學模式做出思考和判斷．而應用問題是實現這一理念和目標的載體，大部分應用問題都需要剝去實際外殼，暴露數學本質，轉化為熟悉可解的數學問題．

圖1

例3如圖1，在公路MN的2側有4個村鎮：A1,B1,C1,D1通過小路和公路相連，各路口分別是A,B,C,D.現在要在公路上建一個長途汽車站，為使各村鎮村民到汽車站所走得路程總和最小，汽車站應建在

( )

A．A處 B．B處

C．B，C間的任意一處(包括B，C)

D．A，B間的任意一處(包括A，B)

分析由于4個村鎮的村民到路口的距離是固定的，因此各個村鎮到路口的小路對本問題的結論沒影響，故為使各村鎮村民到汽車站所走的路程總和最小，只需使得其到A，B，C，D這4地的路程之和最小．由于把曲線MABCDN“拉直”對本題的結論沒有影響，因此原問題可等價地轉化為“已知A，B，C，D依次是直線MN上的4個定點(自左至右)，P為直線MN上一點，要使

|PA|+|PB|+|PC|+|PD|

取最小值，點P應在何處.”從幾何角度看,這是到2個定點距離最小問題，結論是線段上(任意一處)最短，因此本題的結論是B,C間的任意一處(包括B,C)；從代數角度看,可以建立以下函數模型，設a,b,c,d為常數，a

f(x)=|x-a|+|x-b|+|x-c|+|c-d|

取最小值，”也易解得當b≤x≤c時，f(x)最小．

2.2.2 “撥云見日”，轉化多元問題

多變量問題多出現在函數、導數、最值、不等式等問題中，是近幾年數學高考中的一個難點和熱點，大多數學生在遇到多變量問題時往往會一籌莫展，思路混亂，花費很多的時間和精力卻無功而返，這都源于能否實現正確、準確地轉化，同時也會因為轉化的不同，過程簡易程度也會出現較大的差異．確定主元(主角)、分離參數是實現撥云見日的有效轉化方案．

例4設函數f(x)=(x-a)2lnx，a∈R.

(1)若x=e為y=f(x)的極值點，求實數a；

(2)求實數a的取值范圍，使得對任意的x∈(0,3e]，恒有f(x)≤4e2成立.

下面僅對本題第(2)小題作出解答.

解法1(2)因為函數中有2個變量x和a，且求a的取值范圍，所以可確定x為主元.又x∈(0,3e],顯然可發現:

①當x∈(0,1]時，f(x)=(x-a)2lnx<0,使f(x)≤4e2成立的a的范圍是a∈R.

②當x∈(1,3e]時,考察函數

h(1)=1-a<0,h(a)=2lna>0,

并且當x∈(1,x0]時,h(x)<0;當x∈(x0,a]時,h(x)>0,可得f(x)在x∈(1,x0]上遞增，在x∈(x0,a]上遞減，在x∈[a,+∞)上遞增．要滿足使得對任意的x∈(1,3e]，恒有f(x)≤4e2成立．由恒成立的最值化策略知可轉化為

f(x0)=(x0-a)2ln(x0)≤4e2.

a=2x0lnx0+x0∈(1,3e].

解法2當x∈(1,3e]時,要滿足使得對任意的x∈(1,3e]，恒有

f(x)=(x-a)2lnx≤4e2

成立.通過分離參數，轉化為

此時只需考察函數

因為h(x)在x∈(1,3e]上單調遞增，得

g(x)min=h(e)=3e,

點評多元背景下的恒成立問題，常轉化為最值解決，但之前先要做確定主元、主要函數的有效轉化，解法1中的轉化次數遠遠多于解法2，這也體現了變量分離的優勢．

2.2.3 穿越翻新,轉化高維、高次問題

立體幾何問題和空間向量使高中數學學習進入了高維，但空間向量有效地實現了幾何和代數的轉化，避免了高維抽象．立體幾何則尋找各種方法，試圖把空間問題轉化為平面問題，如：用等積變換求有關幾何體的體積或點到平面的距離；用割補轉化改變幾何體的狀態，由復雜幾何體變為簡單幾何體；線線、線面、面面之間的垂直或平行的互相轉化，貫穿于立體幾何始終；線線、點面、線面、面面之間的距離，既相互聯系，又可相互轉化；角與距離的計算還可以轉化為空間向量的計算；有些證明問題可以轉化為平面幾何問題來證明等等．

例5在正三棱錐S-ABC的底面ABC內有一動點P到側面SAB,SBC,SAC的距離依次成等差數列，則點P的軌跡是

( )

A．一條直線的一部分 B．橢圓的一部分

C．圓的一部分 D．拋物線的一部分

點評把立體幾何問題轉化為平面問題或坐標運算的代數問題是處理三維幾何的基本策略.本題通過等體積法把問題轉化為底面正△ABC內的問題，使問題化難為易．

2.2.4 以靜制動,轉化變化問題

變化是數學描述的主要領域，而對于復雜的變化問題，通常試圖去尋找其規律，使其轉化為熟悉的模式與問題，而這往往需要我們去分析、比較和發現，利用變中的不變、變中的規律，常應用于函數、解析幾何、數列中．

分析利用圓的性質，把動點Q，R轉化到圓心C2,C3，則

(|PQ|-|PR|)max= |PQ|max-|PR|min=

|PC2|+1-(|PC3|-1)=

|PC2|-|PC3|+2.

由于C2,C3恰好是雙曲線C1的焦點，由雙曲線定義得

(|PQ|-|PR|)max=10．

點評高中所學的曲線都是動點的軌跡，但都有特定的性質，例6中有3個動點，若不能將圓上的點轉化為圓心，則問題將復雜而很難突破，而圓的圓心和半徑、雙曲線的焦點和定值是解決該題的核心，是以靜制動的依據．

解因為原不等式2邊均為正整數，所以不等式

a2+b2+c2+48<4a+6b+12c

與不等式

a2+b2+c2+48+1≤4a+6b+12c

等價.這個等價不等式又可化為

(a-2)2+(b-3)2+(c-6)2≤0,

得

點評本題是通過等與不等的轉化，而在等與不等的矛盾轉化中，基本不等式、函數的性質等常發揮著重要作用，它們是聯系著等與不等的紐帶，是等與不等矛盾差異間的內在聯系，也是以靜制動的表現．

2.2.5 數形轉化,優化數學問題

圖2

( )

分析如圖2,因為

S△AOB=S△OB1B+SB1A1AB-S△OA1A=

所以選D．

點評數與形的相互轉化常常能讓復雜問題直觀化、簡單化．

3 精題集萃

( )

( )

3．若自然數n使得作豎式加法n+(n+1)+(n+2)產生進位現象，稱n為“先進數”，如：4是“先進數”，因為4+5+6產生進位現象，2不是“先進數”，因為2+3+4不產生進位現象，那么小于100的“先進數”的概率是________．

4．定義[x1,x2](x1

6.設等差數列{an}的首項a1為a，前n項和為Sn．

(1)若S1，S2，S4成等比數列，求數列{an}的通項公式；

(2)證明：任意n∈N*,Sn，Sn+1，Sn+2不構成等比數列．

參考答案

6.(1)當d=0時，an=a；

(2)當d=2a時，an=(2n-1)a.

7.m≤-e2.

[1] 吳濤.轉化思想——破解數學難題的良策[J].中學數學研究，2011(8)：30-31．