合情推理與演繹推理

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(臺州市教育局教研室 浙江臺州 318000)

●李建明

(臺州市第一中學 浙江臺州 318000)

合情推理與演繹推理

●蔣榮清

(臺州市教育局教研室 浙江臺州 318000)

●李建明

(臺州市第一中學 浙江臺州 318000)

1 考點回放

推理一般包括合情推理與演繹推理．

1.1 合情推理

合情推理包括歸納推理和類比推理．

1.1.1 歸納推理

由某類事物的部分對象具有某些特征，推出該類事物的全部對象都具有這些特征的推理，或者由個別事實概括出一般結論的推理，稱為歸納推理(簡稱歸納)．

(1)定義理解：歸納推理是由部分到整體、由特殊到一般的推理；

(2)應用舉例：統計學中的抽樣推斷、等差數列的通項公式的推導方法，都屬于歸納推理；

(3)學習目的：可以發現新事實，獲得新結論．

1.1.2 類比推理

由2類對象具有某些類似特征和其中一類對象的某些已知特征，推出另一類對象也具有這些特征的推理稱為類比推理(簡稱類比)．

(1)定義理解：

①類比推理是指2類對象具有類似特征；

②由一類特征推想另一類特征；

③類比推理是由特殊到特殊的推理.

(2)應用舉例：

①實數與復數、實數與向量在運算法則與運算性質方面類比；

②2個實數的大小關系與2個集合的包含關系類比；

③平面幾何與立體幾何類比(如表1)：

表1 平面幾何與立體幾何類比

④圓、橢圓、雙曲線、拋物線之間的類比．

(3)學習目的：提出新問題，作出新發現．

1.1.3 推理過程

從具體問題出發→觀察、分析、比較、聯想→歸納、類比→猜想．

(1)綜合理解：合情推理是指“合乎情理”的推理，得到的結論不一定正確，例如：在等差數列{an}中，Sn,S2n-Sn,S3n-S2n(n∈N+)一定是等差數列，類比推測得：在等比數列{an}中，Sn,S2n-Sn,S3n-S2n(n∈N+)一定是等比數列．而此結論是錯誤的．

(2)學習目的：數學研究中，合情推理能幫助我們猜想、發現結論，提供證明的思路和方向．

1.2 演繹推理

從一般性的原理出發，推出某個特殊情況下的結論，這種推理稱為演繹推理(邏輯推理)．

1.2.1 理解

演繹推理是由一般到特殊的推理.

1.2.2 模式

(1)“三段論”：①大前提：已知的一般原理；②小前提：所研究的特殊情況；③結論：根據一般原理，對特殊情況作出的判斷．

(2)字母表示：①大前提：A是B；②小前提：C是A；③結論：C是B；

(3)集合簡述：①大前提：x∈M且x具有性質P；②小前提：y∈S且S?M；③結論：y也具有性質P.

1.2.3 舉例

已知a=(1,0)，b=(0,-1)，證明:a⊥b．

證明由a·b=(1,0)·(0,-1)=0，得a⊥b.

點評證明采用了演繹推理的方法：①大前提：當m·n=0時，有m⊥n；②小前提：a·b=(1,0)·(0,-1)=0；③結論：a⊥b.

2 高考要求

(1)了解合情推理的含義，能利用歸納與類比等進行簡單的推理，了解合情推理在數學發現中的作用；

(2)了解演繹推理的重要性，掌握演繹推理的基本模式：“三段論”，并能運用它們進行一些簡單推理；

(3)了解合情推理和演繹推理之間的聯系與差異.

3 命題回顧與展望

《普通高中數學課程標準》(實驗)把培養學生的推理能力作為培養目標之一，近幾年全國各省、市高考中出現了合情推理的考題．這是一些思路開闊、情境新穎的創新題型，它們往往以問題為中心，不拘泥于具體的知識點，將數學知識、方法和原理融為一體，突出了對數學思想方法的考查，體現了數學的思維價值．

要求考生通過對已有知識的回顧與總結，進一步體會直觀感知、觀察發現、歸納類比、空間想象、抽象概括、符號表示、運算求解、數據處理、演繹證明、反思與建構等數學思維過程以及合情推理、演繹推理之間的聯系與差異．考查形式多為填空題．

從新課程改革的方向來看，要努力培養學生的創新意識，那么合情推理與演繹推理是一個重要的載體．

4 典例精析

題型1運用歸納推理發現一般性結論

例1通過觀察下列等式，猜想出一個一般性的結論，并證明結論的真假.

解猜想：

證明左 邊=(sinαcos60°-cosαsin60°)2+

sin2α+(sinαcos60°+cosαsin60°)2=

點評注意觀察這4個式子的共同特征或規律：(1)4個式子結構一致;(2)角具有“共性”．

例2觀察下列各式:55=3 125,56=15 625,57=78 125,…,則52 011的末4位數字為

( )

A.3 125B.5 625C.0 625D.8 125

(2011年江西省數學高考理科試題)

解記f(x)=5x，則f(4)=625,f(5)=3 125,f(6)=15 625,f(7)=78 125,f(8)=390 625,可知5n(n∈Z,n≥5)的末4位數字呈周期性變化，且最小正周期為4，又2 011=4×502+3，得

f(2 011)=…8 125.

故選D.

點評上述例題考查了歸納推理，這種推理是由特殊到一般的推理，但要注意特殊性要涵蓋一般問題中的規律性，先猜后證是一種常見題型.歸納推理的一些常見形式：一是“具有共同特征型”；二是“遞推型”；三是“循環型”(周期性).

題型2運用類比推理拓展新知識

例3觀察下列等式：

…

由以上等式推測到一個一般的結論：

(2009年浙江省數學高考理科試題)

分析這是一種需類比推理方法破解的問題，結論由2項構成，第2項前有(-1)n，2項指數分別為24n-1,22n-1，因此對于n∈N*，有

24n-1+(-1)n22n-1.

點評本題主要考查探索能力、類比歸納能力與論證能力，突出了創新能力的考查，通過抓住問題的實質，探討具有共同的屬性，由特殊命題直接歸納概括出一般命題.

圖1 圖2

(2004年廣東省數學高考理科試題)

分析本題用的是“方法類比”．等比數列前n項和公式的推導方法是倒序相加，亦即首尾相加，經類比不難想到

f(-5)+f(-4)+…+f(0)+…+f(5)+f(6)=

[f(-5)+f(6)]+[f(-4)+f(5)]+

…+[f(0)+f(1)].

而當x1+x2=1時，有

點評上述例題考查了類比推理，這是由此及彼的推理，要注意類比的合理性.平面幾何中的一些定理、公式、結論等，可以類比到立體幾何中，得到類似的結論.

題型3運用“三段論”進行演繹推理

例6設V是全體平面向量構成的集合，若映射f:V→R滿足：對任意向量a=(x1,y1)∈V，b=(x2,y2)∈V，以及任意λ∈R，均有

f[λa+(1-λ)b]=λf(a)+(1-λ)f(b),

則稱映射f具有性質P．

先給出如下映射：

①f1：V→R，f1(m)=x-y,m=(x,y)∈V；

②f2：V→R，f2(m)=x2+y,m=(x,y)∈V；

③f3：V→R，f3(m)=x+y+1,m=(x,y)∈V.

其中，具有性質P的映射的序號為________(寫出所有具有性質P的映射的序號)．

(2011年福建省數學高考理科試題)

解設a=(x1,y1)∈V，b=(x2,y2)∈V，則

λa+(1-λ)b=λ(x1，y1)+(1-λ)(x2,y2)=

(λx1+(1-λ)x2,λy1+(1-λ)y2).

對于①:

f[λa+(1-λ)b]=

[λx1+(1-λ)x2]-[λy1+(1-λ)y2]=

λ(x1-y1)+(1-λ)(x2-y2)，

λf(a)+ (1-λ)f(b)=

λ(x1-y1)+(1-λ)(x2-y2)，

因此f[λa+(1-λ)b]=λf(a)+(1-λ)f(b)成立.①是具有性質P的映射；

對于②:

f[λa+(1-λ)b]=

[λx1+(1-λ)x2]2+[λy1+(1-λ)y2]=

2λ(1-λ)x1x2,

λf(a)+(1-λ)f(b)=

顯然，不是對任意λ∈R，f[λa+(1-λ)b]=λf(a)+(1-λ)f(b)成立,因此②是不具有性質P的映射.

對于③:

f[λa+(1-λ)b]=

[λx1+(1-λ)x2]+[λy1+(1-λ)y2]+1=

λ(x1+y1)+(1-λ)(x2+y2)+1，

λf(a)+(1-λ)f(b)=

λ(x1+y1+1)+(1-λ)(x2+y2+1)=

λ(x1+y1)+(1-λ)(x2+y2)+1，

因此f[λa)+(1-λ)b]=λf(a)+(1-λ)f(b)成立，③是具有性質P的映射．

因此，具有性質P的映射的序號為①，③．

點評上述例題是在新定義下，考查學生的邏輯推理能力.一般需要肯定一個結論就要通過演繹推理的方法證明其正確性，在數學的推理中，我們大量使用的就是這種演繹推理；而要否定一個結論，只要能舉出一個反例就可.演繹推理是推理證明的主要途徑，而“三段論”是演繹推理的一種重要的推理形式，在高考中以證明題出現的頻率較高.

5 精題集萃

1．觀察下列等式

1=1,

2+3+4=9,

3+4+5+6+7=25,

4+5+6+7+8+9+10=49,

…

照此規律，第n個等式為________．

2．在平面幾何里，有勾股定理：設△ABC的2條邊AB，AC互相垂直，則AB2+AC2=BC2；拓展到空間，類比平面幾何的勾股定理，研究三棱錐的側面面積與底面面積間的關系，可以得出的正確結論是：設三棱錐A-BCD的3個側面ABC,ACD,ADB兩兩相互垂直，則________.

4．設V是已知平面M上所有向量的集合，對于映射f:V→V,a∈V，記a的象為f(a).若映射f:V→V滿足：對所有a,b∈V及任意實數λ,μ都有f(λa+μb)=λf(a)+μf(b)，則f稱為平面M上的線性變換.現有下列命題：

①設f是平面M上的線性變換，a,b∈V，則

f(a+b)=f(a)+f(b);

②若e是平面M上的單位向量，對a∈V，設f(a)=a+e,則f是平面M上的線性變換；

③對a∈V，設f(a)=-a,則f是平面M上的線性變換；

④設f是平面M上的線性變換，a∈V，則對任意實數k均有f(ka)=kf(a).

其中的真命題是________(寫出所有真命題的編號).

參考答案

1.n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=(2n-1)2