高考中的數(shù)形結(jié)合思想

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(鄞州區(qū)五鄉(xiāng)中學 浙江寧波 315111)

●鄭迪華

(鄞州中學 浙江寧波 315101)

高考中的數(shù)形結(jié)合思想

●夏敏

(鄞州區(qū)五鄉(xiāng)中學 浙江寧波 315111)

●鄭迪華

(鄞州中學 浙江寧波 315101)

數(shù)和形是數(shù)學中最基本的兩大表現(xiàn)形式，二者有著十分密切的聯(lián)系.高考中根據(jù)問題的背景，使數(shù)的問題借助形而產(chǎn)生直觀形象，形的問題依據(jù)數(shù)而深刻入微.以“形”的直觀啟迪思路，導致發(fā)現(xiàn)結(jié)果，以“數(shù)”的嚴謹表述來論證發(fā)現(xiàn)結(jié)果的正確，從而把高考復習引導到一個更高的境界.

實踐證明，如果能給數(shù)學命題以直觀圖像的描述，揭示出命題的幾何特征，就能變抽象為形象，使抽象思維和形象思維在解題過程中相互運用，從而使初看困難或繁瑣的高考題變得簡單、容易.數(shù)形結(jié)合思想的好處在于幾何圖形形象直觀，便于理解；代數(shù)方法具有一般性，解題過程程序化，可操作性強.正如華羅庚教授說過“數(shù)缺形時少直覺，形少數(shù)時難入微，二者結(jié)合萬般好，倘若分離萬事休”，可見數(shù)形結(jié)合思想的重要性.因此，數(shù)形結(jié)合思想是中學數(shù)學的重要思想方法之一，也是歷年高考的熱點和重點內(nèi)容.運用數(shù)形結(jié)合思想解題在高考復習中應引起高度的重視.

1 考查要求

《浙江省普通高考考試說明》指出：數(shù)學科的命題，在考查基礎(chǔ)知識的基礎(chǔ)上，注重對數(shù)學思想和方法的考查，注重對數(shù)學能力的考查，展現(xiàn)數(shù)學的科學價值和人文價值；堅持多角度、多層次的考查，努力實現(xiàn)全面考查綜合數(shù)學素養(yǎng)的要求.在對數(shù)學思想方法的考查時指出：必須要與數(shù)學知識相結(jié)合，通過對數(shù)學知識的考查，反映考生對數(shù)學思想的掌握程度.在對創(chuàng)新意識的考查中明確指出:在考試中要有反映數(shù)、形運動變化的試題.

高考對數(shù)形結(jié)合的考查，一方面是通過解析幾何題或平面向量題的考查，即用代數(shù)方法來處理;另一方面，有些代數(shù)問題須依靠幾何圖形的構(gòu)造和分析得以解決.同時，在數(shù)形結(jié)合的使用過程中，由“形”到“數(shù)”的轉(zhuǎn)化往往比較明顯，而由“數(shù)”到“形”的轉(zhuǎn)化卻需要一定的技巧.

2 考點回顧與命題走向

認真觀察歷年的數(shù)學高考試卷可以發(fā)現(xiàn)，以數(shù)形結(jié)合思想為背景的考題是數(shù)學高考中必有的內(nèi)容.從考查內(nèi)容看，數(shù)形結(jié)合思想的考查經(jīng)常以集合、函數(shù)、方程與不等式、向量、數(shù)列、解析幾何、立體幾何等為載體.

在高考中巧妙運用數(shù)形結(jié)合的思想方法解決一些抽象的數(shù)學問題，可以起到事半功倍的效果.因此，在今后的高考中仍將是必考的重點思想方法.同時，由于高考是綜合性的考查，因此要注意數(shù)形結(jié)合思想與分類討論思想、方程與函數(shù)思想、轉(zhuǎn)化和變換的思想等綜合性的應用.

3 典型例題解讀

3.1 解決向量問題

向量是溝通代數(shù)、幾何、三角函數(shù)的一個十分有效的工具，有著極其豐富的現(xiàn)實背景，可以說向量是聯(lián)結(jié)代數(shù)與幾何的橋梁，是數(shù)形結(jié)合重要的載體與體現(xiàn).

(2011年浙江省數(shù)學高考理科試題)

解法1由題意可得

即

由|α|=1,|β|≤1知

圖1

評注解法1是利用條件將平面向量α,β的夾角轉(zhuǎn)化為三角不等式，結(jié)合三角函數(shù)的圖像得到結(jié)論.解法2是直接利用圖形轉(zhuǎn)化為平行四邊形中點B的位置問題，通過圖形直接獲取答案.2種方法都是通過圖像或圖形，利用數(shù)形結(jié)合的思想得到結(jié)論，特別是解法1簡單明了.

3.2 解決函數(shù)與方程、不等式問題

通過函數(shù)圖像研究函數(shù)的性質(zhì)是探究函數(shù)性質(zhì)常用的方法.因為函數(shù)圖像是函數(shù)的一種主要的表達形式，從“形”的方面刻畫了函數(shù)的變化規(guī)律，顯示了函數(shù)的性質(zhì)，為研究數(shù)量關(guān)系提供了直觀的形象.用圖像處理方程根的個數(shù)問題時，往往把方程根的問題看作2個函數(shù)圖像的交點問題.處理不等式時，從題目的條件與結(jié)論出發(fā)，聯(lián)系相關(guān)函數(shù)，著重分析其幾何意義，從圖形上找出解題的思路，特別是處理線性規(guī)劃問題.

( )

A．-4或-2 B．-4或2

C．-2或4 D．-2或2

(2011年浙江省數(shù)學高考理科試題)

圖2

分析由f(α)=4探求α的值，有點解方程的味道.由于f(x)是分段函數(shù)，因此每段函數(shù)都可能有解.畫出草圖，直接觀察函數(shù)的圖像，將問題轉(zhuǎn)化為探求圖像與直線y=4的交點的橫坐標問題，如圖2所示.

評注本題主要考查分段函數(shù)，通過函數(shù)圖像清晰地把在各自區(qū)域內(nèi)可能的解直觀地呈現(xiàn)，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的優(yōu)越性.

( )

(2010年福建省數(shù)學高考理科試題)

圖3

分析由題意知，所求的|AB|最小值，即為區(qū)域Ω1中的點到直線3x-4y-9=0最小距離的2倍.畫出已知不等式表示的平面區(qū)域(如圖3)，觀察知點(1，1)到直線3x-4y-9=0的距離最小，故|AB|的最小值為

故選B.

評注線性規(guī)劃問題是運用數(shù)形結(jié)合思想解決不等式問題最直接的體現(xiàn).對線性規(guī)劃的考查通常以距離、面積、斜率、正整數(shù)解等問題出現(xiàn)，通過“形”來探求“數(shù)”.

3.3 解決解析幾何問題

用數(shù)形結(jié)合解決解析幾何問題，可以說是數(shù)形結(jié)合思想的完美體現(xiàn).要善于將數(shù)形結(jié)合思想運用到對點、線、曲線的性質(zhì)及其相互關(guān)系的研究中，從而解決問題.

( )

冠心病具有較高的發(fā)病率,隨著冠心病病情的發(fā)展,患者的心功能會受到影響,進而引發(fā)心力衰竭,有可能直接導致患者失去生命,臨床上應當加以重視,積極找出冠心病合并心力衰竭的治療方法,提高這類疾病患者的生存質(zhì)量[1-2]。本次從2015年的6月到2017年的12月這個時間段中取材并開展研究,分別使用硝普鈉靜脈滴注以及酚妥拉明靜脈滴注兩種方法治療患者,結(jié)果如下。

(2011年浙江省數(shù)學高考理科試題)

b2x2+(b2+5)y2=b2(b2+5),

聯(lián)立直線與橢圓方程消去y得

評注本題主要考查直線與橢圓、圓的位置關(guān)系，解題時要注意利用條件和圖形，將3等分轉(zhuǎn)化為弦長與長軸之間的關(guān)系.另外在解析幾何中，曲線和方程是同一軌跡的2種表示形式，在不同形式下各有所長，充分利用圖形和平面直角坐標系將“形”的表現(xiàn)用“數(shù)”來演示，充分發(fā)揮數(shù)形結(jié)合的優(yōu)勢,從而使問題解決簡單化.

3.4 解決立體幾何問題

立體幾何中用坐標的方法研究幾何中點、線、面的性質(zhì)及其相互關(guān)系，將抽象的幾何問題轉(zhuǎn)化為純粹的代數(shù)計算，用空間向量來解決就是最有力的佐證.在處理立體幾何問題時，經(jīng)常通過翻折或割補來構(gòu)建新的立體或平面圖形，進而轉(zhuǎn)化成新的相對簡單的幾何問題.通過空間想象，利用數(shù)形結(jié)合思想處理可達到意想不到的效果.

例5如圖4所示，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，點M是對角線A1B上的動點，則AM+MD1的最小值為________.

圖4

評注翻折與割補通過“形”的變化，來掌控“數(shù)”的變化，對空間想象能力的要求較高，在探究過程中一直體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想.

3.5 利用數(shù)形結(jié)合思想，解決其他問題

3.5.1 解決集合問題

在集合運算中常常借助數(shù)軸、韋恩圖來處理集合的交、并、補運算，從而使問題得以簡化，使運算快捷明了.

例6已知A,B均為集合U={1,3,5,7,9}的子集，且A∩B={3},(CUB)∩A={9},則A=

( )

A.{1,2} B.{3，7，9}

C.{3，5，9} D.{3,9}

(2010年遼寧省數(shù)學高考理科試題)

分析可借助韋恩圖求解，結(jié)論直觀形象地呈現(xiàn).

例7集合A={x|-1≤x≤2}，B={x|x<1},則A∩(CRB)=

( )

A.{x|x>1} B.{x|x≥1}

C.{x|1

(2010年陜西省數(shù)學高考理科試題)

分析由題CRB={x|x≥1}，利用數(shù)軸公共部分可以清晰呈現(xiàn)，故選D.

評注解決集合問題首先要分清元素是什么，然后通過分析條件與結(jié)論的特點，利用數(shù)軸或韋恩圖將其轉(zhuǎn)化為圖形語言，數(shù)形結(jié)合直觀地呈現(xiàn).

3.5.2 解決數(shù)列問題

數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，數(shù)列的通項公式以及前n項和公式都可以看作關(guān)于正整數(shù)n的函數(shù).如等差數(shù)列可以看成關(guān)于正整數(shù)n的“一次函數(shù)”，前n項和可以看成關(guān)于正整數(shù)n的缺少常數(shù)項的“二次函數(shù)”;等比數(shù)列可以看成關(guān)于正整數(shù)n的指數(shù)函數(shù).用數(shù)形結(jié)合的思想解決數(shù)列問題是借助函數(shù)的圖像進行直觀地分析，從而將數(shù)列問題轉(zhuǎn)化為與函數(shù)相關(guān)的問題.

例8在等差數(shù)列{an}中，d<0，若|a3|=|a9|，則數(shù)列{an}的前n項和取最大值時n的值是________.

分析由已知條件和等差數(shù)列性質(zhì)得

a1+a11=a3+a9=0，

從而

S11=0.

根據(jù)二次函數(shù)圖像的性質(zhì)知，當n=5或n=6時，Sn取得最大值.

評注本題將數(shù)列問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，利用函數(shù)的性質(zhì)等知識，結(jié)合函數(shù)的圖像來解決問題.

3.5.3 解決一類最值問題

例9求函數(shù)

的最小值.

分析此類問題直接用代數(shù)的方法求解難度較大，聯(lián)想到兩點間的距離公式，將上式變形為

評注利用數(shù)形結(jié)合思想將問題轉(zhuǎn)化為探求距離的最值問題，大大簡化了計算.數(shù)形結(jié)合是處理此類函數(shù)最值問題最有效的方法.

4 幾點建議

靈活地運用數(shù)形結(jié)合的思想方法，可以有效地提升思維品質(zhì)和數(shù)學技能，因此復習時要以熟練技能、方法為目標，特別是要掌握各種函數(shù)圖像的特點，理解各種幾何圖形的性質(zhì).用“數(shù)”的準確來揭示“形”的模糊，用“形”的直觀來啟迪“數(shù)”的計算，加強這方面的訓練，使問題解決簡單化，從而提高解題能力和解題速度.

運用數(shù)形結(jié)合思想分析、解決問題時，要遵循3條原則：

(1)等價性原則.

要注意圖像不能精確刻畫數(shù)量關(guān)系所帶來的負面效應.

(2)雙方性原則.

既要進行幾何直觀分析，又要進行相應的代數(shù)抽象探求，僅對代數(shù)問題進行幾何分析容易出錯.

(3)簡單性原則.

不要為了“數(shù)形結(jié)合”而數(shù)形結(jié)合.具體運用時，一要考慮是否可行和是否有利；二是要選擇好突破口，恰當設參、用參、建立關(guān)系，做好轉(zhuǎn)化；三是要挖掘隱含條件，準確界定參變量的取值范圍，特別是運用函數(shù)圖像時應設法選擇直線與二次曲線.

5 精題集萃

4.已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)，滿足f(x-4)=-f(x)，且在區(qū)間[0,2]上是增函數(shù).若方程f(x)=m(m>0)在區(qū)間[-8,8]上有4個不同的根x1,x2,x3,x4,則x1+x2+x3+x4=________.

5.已知函數(shù)y=f(x)的周期為2，當x∈[-1,1]時，f(x)=x2，那么函數(shù)y=f(x)的圖像與函數(shù)y=|lgx|的圖像的交點共有________個.

6.已知實數(shù)x,y同時滿足下列條件：

2x+y-2≥0，x-2y+4≥0,3x-y-3≤0,

則x2+y2的最大值與最小值的和是________.

10.若過定點M(-1，0)且斜率為k的直線與圓x2+4x+y2-5=0在第一象限內(nèi)有交點，則k的取值范圍是________.

12.已知點P是拋物線y2=4x上的點，設點P到拋物線準線的距離為d1，到圓(x+3)2+(y-3)2=1上一動點Q的距離為d2，則d1+d2的最小值是________.

13.設圓C位于拋物線y2=2x與直線x=3所圍成的封閉區(qū)域(包含邊界)內(nèi)，則圓半徑能取到的最大值為________.

參考答案