專題復習：分類整合思想方法

2012-11-06 11:53:53

中學教研(數學) 2012年2期

關鍵詞：分類思想數學

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(龍游中學浙江龍游 324400)

專題復習：分類整合思想方法

●賴忠華葉秋平

(龍游中學浙江龍游 324400)

在解決某些數學問題時，由于問題所給對象不能統一處理，需要根據對象本質屬性的相同點和不同點，按一定標準將對象分為不同種類，將整體問題轉化為若干部分來解決，在各個部分得到解決之后，再綜合歸納使整個問題得以解決，這樣的方法稱為分類整合思想方法．分類整合思想是高中最重要的數學思想方法之一.一方面它可以與高中眾多知識相結合，有利于對知識的考查；另一方面它對思維能力要求較高，便于區分學生能力的高低．

1 考查要求與考點回顧

《浙江省數學高考考試說明》指出：對數學思想方法的考查是對數學知識在更高層次上的抽象與概括的考查，考查時必須與數學知識相結合，通過對數學知識的考查，反映學生對數學思想方法的掌握程度．這表明，數學思想方法的考查是高考必須的，且以隱性考查的方式進行，即通過對數學知識的考查反映學生對數學思想方法的掌握程度．

從近3年浙江省數學高考試題來看，涉及到分類討論的題目一般包括1至2個中檔難度的客觀題與1個較難的解答題．從考查內容看，函數、數列、不等式、排列組合、解析幾何是考查分類整合思想方法常用的知識載體．其中，含參數的函數與導數問題是熱點，每年必考．對分類整合思想方法考查的要求是：對常見的涉及分類的概念、知識和題型能直觀判斷與正確處理；對較復雜的實際問題或含參數的討論應條理清晰，格式規范，合理分類，正確整合．

2 知識解析與典例解讀

2.1 常見的分類問題

2.1.1 由數學概念引起的分類討論

數學中有許多概念本身就是被分類定義的，典型的有直線傾斜角的定義、斜率的定義、絕對值的定義等等．因而在解決涉及此類概念的問題時，相應地要考慮到各種情況．

例1已知直線l:2x+y-6=0和點A(1,-1)，過點A作直線m與l相交于點B，且|AB|=5，求直線m的方程．

分析已知m過點A，若用點斜式表示m的方程,要注意考慮斜率不存在的情況，否則會漏掉m的方程為x=1的情況．

2.1.2 由數學運算要求引起的分類討論

如除法運算中除數不為0，偶次方根為非負，對數中真數與底數的要求，不等式2邊同乘以一個正數、負數對不等號方向的不同影響等等．

2.1.3 由定理、公式、性質的限制引起的分類討論

有些數學定理、公式、性質是分類給出的，不同條件下的結論是不一致的．如函數f(x)=ax2+bx+c(x∈R)，當a=0時,f(x)是一次函數或常函數，而a≠0時，f(x)是二次函數，函數性質的不同決定了下一步討論問題的方法不同，故要分類討論．又如應用等比數列求和公式時，公比q=1和q≠1是不同的．根據數列前n項和Sn求通項公式an時，n=1和n≠2時計算方法是不一樣的．

2.1.4 由圖形中元素之間的相對位置關系不同引起的分類討論

由圖形的位置或形狀變化引發的討論一般包括：二次函數對稱軸位置的變化；函數問題中區間的變化；函數圖像形狀的變化；直線的斜率引起的位置變化；圓錐曲線由焦點引起的位置變化或由離心率引起的形狀變化；立體幾何中點、線、面的位置變化；三角函數值確定，但角的終邊不確定等等．

分析本題首先應按哪個點為直角頂點分為3類．而以點P為直角頂點的直角三角形是否存在以及有幾個與橢圓形狀有關，需按m的取值分情況討論．

2.1.5 由參數變化引起的分類討論

含參數的問題，由于參數取值的不同會導致所得結果不同，或對于不同參數值要運用不同的求解或證明方法，必須對參數進行分類討論．

例3設函數f(x)=a2lnx-x2+ax,a>0．

(1)求f(x)的單調區間；

(2)求所有的實數a，使得e-1≤f(x)≤e2對x∈[1,e]恒成立．

(2011年浙江省數學高考文科試題)

解(1)f(x)的遞增區間為(0,a]，遞減區間為[a,+∞)．

(2)①若a≤1，則f(x)在[1,e]內遞減，有

a2-e2+ae=f(e)≤f(x)≤f(1)=a-1.

由題意應滿足

a2-e2+ae≥e-1>0,

且

a2-e2+ae≤a-1<0，

矛盾．故此類情況不合題意．

②若1

f(1)=a-1或f(e)=a2-e2+ae．

若f(1)為最小值，應滿足f(1)=a-1≥e-1，則有a≥e與1

f(1)>f(e)≥e-1，

也可得到a>e與1

③若a≥e，則f(x)在[1,e]內遞增，從而

a-1=f(1)≤f(x)≤f(e)=a2-e2+ae.

由題意得

綜上所述，只有當a=e時滿足條件．

2.2 運用分類整合思想應注意解決3個問題

運用分類整合思想解決問題，必須解決好分類時機的選擇、分類標準的確定、分類層次遞進的自然合理這3個問題．解決問題時能不分類盡量不要分類，只有當統一的做法不能進行時，才考慮分類，因此分類時機應該是水到渠成的．當分類時機出現時，也是分類標準應運而生之時，根據前述有關引起分類的原因確定分類標準，注意分類時要不重復不遺漏，而分類層次的遞進也是一個順勢而為的過程．

例4設a>0,討論函數

f(x)=lnx+a(1-a)x2-2(1-a)x

的單調性．

(2011年廣東省數學高考文科試題)

解f(x)的定義域為(0,+∞)，則

(f′(x)=0是否有解由分子決定，因為

2a(1-a)x2-2(1-a)x+1

可能為一次式，也可能為二次式，所以首先應對a(1-a)的值進行討論．)

(1)當a=1時，

2a(1-a)x2-2(1-a)x+1=1，

(當a≠1時,2a(1-a)x2-2(1-a)x+1=0為一元二次方程，此時

Δ≤0，2a(1-a)x2-2(1-a)x+1≥0，

即f′(x)≥0恒成立，故f(x)在(0,+∞)內為增函數．

(這2個根哪個大哪個小，有幾個落在定義域內仍與a有關,會影響到函數的單調性，需再次對a進行討論．)

②當a>1時，x2<00，當x>x1時，f′(x)<0．從而f(x)在(0,x1)內遞增，在(x1,+∞)內遞減．

評注含參數導數問題是高考的熱點與難點之一，若按照下列3個基本討論點循序漸進，則一般問題可迎刃而解．(1)求導后，導函數為0是否有實根引起的討論；(2)求導后，導函數為0有實根，但不知這些實根是否落在函數定義域之內引起的討論；(3)求導后，導函數為0有實根，這些實根也落在定義域之內，但不知這些實根的大小關系引起的討論．

2.3 正確整合是分類討論后必不可少的環節

運用分類討論解題特別要注意最后的整合，這是對題目各種情況的歸納與總結．從集合角度看，分類后的整合一般有3種形式：

(1)按參數分類，再對各類結果求交集．如解決“mx2-2x+1-m≤0對于滿足|m|≤2的一切m的值都成立，求x的取值范圍”這一問題時，先按-2≤m<0,m=0,0

(2)對各類結果先求交集再求并集．在解形如“|x-5|+|x+3|≥10”的不等式時，按x≤-3,-3

(3)按分類參數分列各類結果．如例4中按照參數a的不同取值分類，得到的結果中函數的單調區間與a的值密切相關，只能分類列出各種不同結果．

2.4 常用的回避和簡化分類討論的策略

盡管分類討論能簡化對復雜問題的處理，但過程一般較為冗長，敘述較為繁瑣，且易造成遺漏，因此它不是解決問題的最佳方法．在熟悉和掌握分類整合思想的同時，要注意克服思維定勢，盡可能回避或簡化分類討論．這并不是對分類整合思想的否定，而是對分類整合思想的再認識、再升華,同時也可培養處理問題的求簡意識，杜絕解決問題的隨意性和盲目性．

2.4.1 等價轉化，回避討論

如例1，如果設直線的點斜式方程必然要對斜率進行討論，因此可以設直線m為一般式方程，或設點B的坐標為(x,6-2x)，或將點B看作以A為圓心、5為半徑的圓與直線l的交點等方法可回避斜率不存在時的討論．

2.4.2 變換主元，回避討論

對于有2個或2個以上未知量的數學問題，若能突破字母(符號)的思維定勢，將已知范圍的變量作為主元，以“參數”反串“主元”，常常能回避討論．如在“設不等式mx2-2x+1-m≤0對于滿足|m|≤2的一切m的值都成立，求x的取值范圍”的問題中，已知m的范圍，求x的范圍，可將m作為變量，令f(m)=(x2-1)m+1-2x，則它是關于m的一次函數或常數．利用數形結合轉化為線段在橫軸下方的問題，可回避對m的討論．

2.4.3 抓住內在本質，簡化討論

如在解決“f(x)=(x+a)(x2+bx+c)，g(x)=(ax+1)(cx2+bx+1)(a,b,c∈R)．記S={x|f(x)=0,x∈R},T={x|g(x)=0,x∈R},試討論集合S,T中元素個數的可能情況”時，若能注意到

說明f(x)=0和g(x)=0的根互為倒數，則可簡化為對x=0和x≠0的討論．

2.4.4 挖掘隱含條件，簡化討論

參數的限制范圍有時隱含于問題之中，充分挖掘題目中的隱含條件，可簡化討論．在例3中，若注意到e-1≤f(x)≤e2對x∈[1,e]恒成立，則

e-1≤f(1)=a-1≤e2，

得a≥e，就可回避a