換元引參與整體思想在高考中的應(yīng)用

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(湖州中學(xué) 浙江湖州 313000)

換元引參與整體思想在高考中的應(yīng)用

●蔣際明

(湖州中學(xué) 浙江湖州 313000)

換元引參與整體思想內(nèi)涵豐富，它滲透到數(shù)學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域，是體現(xiàn)學(xué)生觀察能力、直覺(jué)思維能力和整體意識(shí)的主要思想方法，同時(shí)也能體現(xiàn)學(xué)生思維結(jié)構(gòu)中從大處著眼的宏觀調(diào)控能力.換元引參是整體思想的集中體現(xiàn)，在整體思想中扮演著不可或缺的角色.通過(guò)換元引參可以將陌生的、不能處理的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉的、可以解決的問(wèn)題，也體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸的思想.

解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程中，有時(shí)為了將陌生、抽象、復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉、具體、簡(jiǎn)單的問(wèn)題，促使未知向已知轉(zhuǎn)化，常將某個(gè)式子看作一個(gè)整體，引入一個(gè)新的變量，用一個(gè)字母來(lái)代替它，實(shí)行變量代換，從而使問(wèn)題得到解決，這種解決問(wèn)題的方法叫做換元引參.

利用換元引參解題的關(guān)鍵在于選擇適當(dāng)?shù)妮o助未知數(shù)，要注意2個(gè)方面：一是字母之間、式子之間的轉(zhuǎn)化；二是變量代換時(shí)范圍的取舍.一定要注意新變量的取值范圍、換元所受的限制條件，特別是要挖掘隱含的限制條件，還要注意根據(jù)題設(shè)條件來(lái)驗(yàn)證結(jié)果.

將需要解決的問(wèn)題看作一個(gè)整體，通過(guò)研究問(wèn)題的整體形式和整體結(jié)構(gòu)，并通過(guò)對(duì)整體結(jié)構(gòu)的調(diào)節(jié)和轉(zhuǎn)化使問(wèn)題獲解，這種從整體觀點(diǎn)出發(fā)研究問(wèn)題的思維活動(dòng)過(guò)程稱為整體思想.整體思想具體可分為整體觀察、整體代入、整體構(gòu)造、設(shè)而不求等，在解題時(shí)，要從問(wèn)題的條件出發(fā)，抓住整體結(jié)構(gòu)，使問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉的數(shù)學(xué)模型，從而解決問(wèn)題.

換元引參和整體思想是數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化能力的一種體現(xiàn)，它滲透于數(shù)學(xué)的方方面面，在歷年高考試題中都有考查.

1 典型例題

1.1 局部換元

例1已知集合A={x|4x-2x+1+a=0,x∈R}，若集合A中有且只有1個(gè)元素,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

分析令t=2x，則t>0，方程4x-2x+1+a=0可化為

t2-2t+a=0.

點(diǎn)評(píng)通過(guò)換元，把超越方程轉(zhuǎn)化成了熟悉的二次方程來(lái)求解，簡(jiǎn)化了問(wèn)題.這里要特別注意的是原方程有一個(gè)根并不與所轉(zhuǎn)化的二次方程有一個(gè)根等價(jià)，由于輔助元取值為正數(shù)，因此等價(jià)于二次方程有一個(gè)正根.

1.2 整體換元

例2設(shè)x,y為實(shí)數(shù)，若4x2+y2+xy=1，則2x+y的最大值是________.

(2011年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題)

解設(shè)2x+y=t，則

y=t-2x,

代入4x2+y2+xy=1中得

6x2-3tx+t2-1=0,

將它看作一個(gè)關(guān)于x的二次方程，則由判別式大于等于0，可得

Δ=(3t)2-4·6·(t2-1)≥0,

解得

點(diǎn)評(píng)將2x+y視為一個(gè)整體并引入?yún)?shù)t，進(jìn)而通過(guò)消元把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次方程有實(shí)數(shù)根的問(wèn)題，此類方法在歷年高考題中時(shí)有出現(xiàn).

1.3 三角換元

從而

1.4 均值換元

例4已知正數(shù)x,y滿足x+y=1,求證：

原不等式得證.

點(diǎn)評(píng)若已知2個(gè)變量的算術(shù)平均值，可采用均值換元法，使原來(lái)的2個(gè)變量轉(zhuǎn)化為只含有1個(gè)變量的問(wèn)題，從而達(dá)到減少變量的目的，且使變量間的關(guān)系更加明顯.

1.5 設(shè)點(diǎn)引參

(1)當(dāng)直線l過(guò)右焦點(diǎn)F2時(shí)，求直線l的方程.

(2)設(shè)直線l與橢圓C交于點(diǎn)A,B，△AF1F2，△BF1F2的重心分別為G,H.若原點(diǎn)O在以線段GH為直徑的圓內(nèi)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

(2010年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題)

(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),由

從而

化簡(jiǎn)得

x1x2+y1y2<0,

點(diǎn)評(píng)本題雖有多種解法，但都離不開(kāi)點(diǎn)A，B的坐標(biāo)參與，故引參時(shí)必須考慮設(shè)點(diǎn)A，B的坐標(biāo)(設(shè)而不求).在具體消參運(yùn)算時(shí)，將x1x2，y1y2，x1+x2，y1+y2作為一個(gè)變量(整體)考慮，這給消參帶來(lái)了便利.

1.6 整體觀察

分析(1)先將結(jié)論因式分解，然后將a0+a1+a2+a3+a4和a0-a1+a2-a3+a4都看作整體進(jìn)行運(yùn)算，分別令x=1，x=-1，易得結(jié)果為1.

1.7 整體構(gòu)造

于是f(n)是定義域上的單調(diào)遞增函數(shù)，從而

解得

點(diǎn)評(píng)在這里構(gòu)造函數(shù)是為了求f(n)的最小值，對(duì)于恒成立的問(wèn)題,函數(shù)最值解法是一種非常有效的方法.要注意總結(jié)一些解題的小結(jié)論，例如要使f(n)≥g(a)恒成立，只須[f(n)]min≥g(a)即可等等.

圖1

1.8 整體代入

(1)求曲線C的方程；

(2008年浙江省高考數(shù)學(xué)理科試題)

分析(1)容易得到曲線C的方程為

在Rt△QMA中，因?yàn)?/p>

所以

于是

得

換元引參與整體思想是最基本、最常用的數(shù)學(xué)思想.它是通過(guò)研究問(wèn)題的整體形式、整體結(jié)構(gòu)，并對(duì)其進(jìn)行調(diào)節(jié)和轉(zhuǎn)化使問(wèn)題獲解的一種方法．簡(jiǎn)單地說(shuō)就是從整體去觀察、認(rèn)識(shí)問(wèn)題,從而解決問(wèn)題的思想.它是數(shù)學(xué)解題中一個(gè)重要而有效的策略，是提高解題速度的有效途徑.

2 精題集萃

( )

2.長(zhǎng)方體的全面積為11，12條棱長(zhǎng)度之和為24，則長(zhǎng)方體的對(duì)角線長(zhǎng)為

( )

A．6 B．5 C．4 D．3

( )

4.已知sin3θ+cos3θ=1，則sinθ+cosθ的值為

( )

5.若(1+2x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，則a0+a1+a3+a5=

( )

A.122 B.123 C.243 D.244

6.已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的和為100，前4項(xiàng)的和為16，后4項(xiàng)的和為64，則n=________.

9.當(dāng)n>m>1,(n,m∈Z)時(shí)，證明：(mnn)m>(nmm)n.

參考答案

1.C 2．B 3．A 4．D 5．B 6.n=10 7.8

8.解顯然直線x=0不滿足題設(shè)條件，可設(shè)l的方程為y=kx+2.設(shè)A(x1,x2),B(x2,y2)，聯(lián)立

從而

Δ=(16k)2-4·(1+4k2)·12=64(4k2-3)>0，

得

由∠AOB為銳角，得

而y1y2= (kx1+2)(kx2+2)=

k2x1x2+2k(x1+x2)+4，

從而

x1x2+y1y2= (1+k2)x1x2+2k(x1+x2)+4=

解得

-2

9.證明要證(mnn)m>(nmm)n，即證

mlnm+nmlnn>nlnn+nmlnm，

即

從而g(x)在(1,+∞)上是增函數(shù)，而g(1)=0，可知

g(x)=x-1-lnx>0,

于是

φ′(x)>0,

即y=φ(x)是增函數(shù).又n>m>1，得

φ(n)>φ(m),

從而

(mnn)m>(nmm)n.