數(shù)學(xué)模型的化歸與構(gòu)造

●

(魯迅中學(xué) 浙江紹興 312000)

●陳柏良

(紹興市高級(jí)中學(xué) 浙江紹興 312000)

數(shù)學(xué)模型的化歸與構(gòu)造

●董紅平

(魯迅中學(xué) 浙江紹興 312000)

●陳柏良

(紹興市高級(jí)中學(xué) 浙江紹興 312000)

在解數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，往往要根據(jù)題目的條件與特征，將數(shù)學(xué)問(wèn)題化歸為熟悉的數(shù)學(xué)模型或構(gòu)造合適的數(shù)學(xué)模型.通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)模型的研究來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題，便是構(gòu)造數(shù)學(xué)模型解題，其目的是利用轉(zhuǎn)化和化歸的思想，化繁為簡(jiǎn)，化難為易，化陌生為熟悉，使問(wèn)題的解決更加簡(jiǎn)潔、合理、快捷、易懂．運(yùn)用模型化歸與構(gòu)造求解問(wèn)題，關(guān)鍵是明確化歸的方向，即構(gòu)造模型的目的是什么．

1 考點(diǎn)分析與命題走向

1.1 考點(diǎn)分析

《浙江省普通高考考試說(shuō)明》中關(guān)于數(shù)學(xué)學(xué)科考試提到：要按照“考查基礎(chǔ)知識(shí)的同時(shí)，注重考查能力”的原則，確立以能力立意命題的指導(dǎo)思想，將知識(shí)、能力和素質(zhì)融為一體，全面檢測(cè)考生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)．在能力要求方面，明確提到：能綜合應(yīng)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)、思想和方法解決問(wèn)題，包括解決在相關(guān)學(xué)科、生產(chǎn)、生活中簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問(wèn)題；能依據(jù)現(xiàn)實(shí)的生活背景，提煉相關(guān)的數(shù)量關(guān)系，將現(xiàn)實(shí)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，構(gòu)造數(shù)學(xué)模型，并加以解決；能選擇有效的方法和手段分析信息，進(jìn)行獨(dú)立思考、探索和研究，提出解決問(wèn)題的思路，創(chuàng)造性地解決問(wèn)題．縱觀近幾年浙江省數(shù)學(xué)高考試題，不乏運(yùn)用“模型化歸與構(gòu)造”思想求解的題目，且達(dá)到了一定的深度．常用的數(shù)學(xué)模型有函數(shù)模型、數(shù)列模型、不等式模型、三角模型、概率模型、幾何模型等．

1.2 命題走向

重視對(duì)模型化歸與構(gòu)造的考查，是數(shù)學(xué)高考命題多年來(lái)所堅(jiān)持的方向．構(gòu)造數(shù)學(xué)模型是一種重要、靈活的思維方式，由于它常常“隱藏”在各種題型中，因此需要考生具有敏銳的洞察、豐富的聯(lián)想和靈活的構(gòu)思能力．此類(lèi)試題能有效地檢測(cè)考生個(gè)體理性思維的廣度和深度以及進(jìn)一步學(xué)習(xí)的潛能，因而，常常被高考命題者所青睞．

2 典型例題解讀

2.1 構(gòu)造函數(shù)模型

函數(shù)模型是高考的熱點(diǎn)和重點(diǎn)，題型既有小題又有大題，解題中常需針對(duì)所要解決的問(wèn)題,構(gòu)造相應(yīng)的基本初等函數(shù)模型，通過(guò)它們的性質(zhì)(單調(diào)性、極值和最值等)來(lái)尋求解題的思路．

2.1.1 構(gòu)造一次函數(shù)模型

例1某地區(qū)居民生活用電分為高峰和低谷2個(gè)時(shí)間段進(jìn)行分時(shí)計(jì)價(jià)．該地區(qū)的電網(wǎng)銷(xiāo)售電價(jià)如表1所示：

表1 高峰和低谷時(shí)間段用電價(jià)格表 (單位：元/千瓦時(shí))

若某家庭5月份的高峰時(shí)間段用電量為200千瓦時(shí)，低谷時(shí)間段用電量為100千瓦時(shí)，按這種計(jì)費(fèi)方式該家庭本月應(yīng)付的電費(fèi)為_(kāi)_______元.

(2009年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題)

分析本題求解的關(guān)鍵是題意的正確理解和函數(shù)模型的構(gòu)造以及快速的運(yùn)算能力．

解設(shè)高峰用電x千瓦時(shí)，低谷用電y千瓦時(shí)，則當(dāng)50

f(x,y)= 50×0.568+(x-50)×0.598+50×

0.288+(y-50)×0.318=

0.598x+0.318y-3=

148.4(元)

評(píng)注應(yīng)用性問(wèn)題考查的方法很多，根據(jù)浙江省自主命題的特點(diǎn)，考查主要以客觀題形式出現(xiàn)，且以函數(shù)模型的應(yīng)用為主.

2.1.2 構(gòu)造二次函數(shù)模型

(2010年天津市數(shù)學(xué)高考理科試題)

分析本題主要考查不等式恒成立和二次函數(shù)的最值問(wèn)題，考查轉(zhuǎn)化思想．

解由題意知

解得

評(píng)注求解恒成立問(wèn)題常采用分離參數(shù)后化歸為求函數(shù)的最值的方法，如m≥f(x)恒成立等價(jià)于m≥fmax(x),m≤f(x)恒成立等價(jià)于m≤fmin(x)等.二次函數(shù)是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容，備考時(shí)應(yīng)重視對(duì)這方面知識(shí)的復(fù)習(xí)．

2.1.3 構(gòu)造二次分式型函數(shù)模型

例3設(shè)x,y為實(shí)數(shù)，若4x2+y2+xy=1，則2x+y的最大值是________．

(2011年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題)

分析本題主要考查基本不等式的應(yīng)用,求解時(shí)要注意1的代換．

解令S=2x+y,則

因?yàn)閤y≠0，所以

評(píng)注本題也可直接應(yīng)用基本不等式或構(gòu)造直線與二次曲線有公共點(diǎn)的模型，求解時(shí)要結(jié)合配湊的技巧.最后的結(jié)果要注意開(kāi)方，避免出錯(cuò)．

2.1.4 利用公式構(gòu)造函數(shù)模型

例4f(x)是定義在(0,+∞)上的可導(dǎo)函數(shù)，且滿足f(x)>0，xf′(x)-f(x)<0.對(duì)任意的正數(shù)a，b,若a>b，則必有

( )

A.af(b)

C.af(a)

分析本題考查商函數(shù)的求導(dǎo)、單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)的合理運(yùn)用.

即bf(a)

評(píng)注商函數(shù)的求導(dǎo)是求解本題的關(guān)鍵，根據(jù)選項(xiàng)信息構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合單調(diào)性來(lái)處理．

2.1.5 構(gòu)造其他函數(shù)模型

例5已知不等式

對(duì)于一切大于1的自然數(shù)n都成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

分析本題的難點(diǎn)在于不等式左邊的式子很難求和，注意到左式與n有關(guān)，而右式與n無(wú)關(guān).從函數(shù)的觀點(diǎn)看，左式是關(guān)于n的函數(shù)，要使原不等式成立，即求這個(gè)函數(shù)的最小值大于右式，即轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值的模型．

因此f(n)是關(guān)于n的遞增函數(shù)，即

評(píng)注本題主要考查函數(shù)思想在解決不等式、數(shù)列等問(wèn)題中的應(yīng)用，需要學(xué)生有較強(qiáng)的綜合分析能力和解決問(wèn)題能力.

2.2 構(gòu)造數(shù)列模型

2011年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題以解答題的形式對(duì)數(shù)列知識(shí)進(jìn)行考查，體現(xiàn)了命題者對(duì)數(shù)列考試要求的轉(zhuǎn)變．?dāng)?shù)列作為特殊的函數(shù)，與方程、不等式、三角函數(shù)、解析幾何等聯(lián)系緊密.解答數(shù)列綜合題和應(yīng)用性問(wèn)題既要有堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí),又要有良好的思維能力和分析、解決問(wèn)題的能力．

(2011年四川省數(shù)學(xué)高考理科試題)

解設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn，且

從而

a1=S1=1，

當(dāng)2≤k≤100時(shí)，

ak=Sk-Sk-1=

評(píng)注本題運(yùn)用數(shù)列的方法解決函數(shù)問(wèn)題，運(yùn)用“差值比較法”比較大小.解答此類(lèi)問(wèn)題時(shí)，應(yīng)充分運(yùn)用觀察、歸納、猜想等手段，建立有關(guān)等差(比)數(shù)列、遞推數(shù)列的模型，再綜合其他相關(guān)知識(shí)來(lái)解決．

2.3 構(gòu)造不等式模型

2.3.1 構(gòu)造基本不等式模型

(2008年江蘇省數(shù)學(xué)高考理科試題)

分析已知條件是x,y,z的代數(shù)和，而要求的是乘積xz，易聯(lián)想到基本不等式模型.

解將x-2y+3z=0移項(xiàng)平方得

4y2=x2+6xz+9z2≥

評(píng)注本題主要考查二元基本不等式，運(yùn)用消元的思想進(jìn)行求解，這是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容之一．

2.3.2 構(gòu)造柯西不等式模型

(2012年浙江省數(shù)學(xué)高考調(diào)測(cè)試題)

分析本題考查利用三維柯西不等式和三元均值不等式求最小值，求解的關(guān)鍵是添項(xiàng)．

解由柯西不等式得

(1)

又由均值不等式知

a2+b2+c2≥ab+bc+ca,

評(píng)注應(yīng)用柯西不等式和均值不等式證明一些簡(jiǎn)單的不等式、解決最大(小)值問(wèn)題是自選模塊《數(shù)學(xué)史與不等式選講》中的常規(guī)問(wèn)題.解題的難點(diǎn)是配湊相應(yīng)的項(xiàng)，使用時(shí)應(yīng)重點(diǎn)掌握不等式(包括變形)的結(jié)構(gòu)特征．

2.4 構(gòu)造計(jì)數(shù)模型

例9若數(shù)列{an}共有11項(xiàng)，a1=0，a11=4,且|ak+1-ak|=1(k=1,2,…,10),則滿足條件的不同數(shù)列的個(gè)數(shù)為

( )

A．100 B．120 C．140 D．160

(2011年同濟(jì)大學(xué)等9校自主招生數(shù)學(xué)試題)

分析原問(wèn)題等價(jià)于“從數(shù)軸上原點(diǎn)出發(fā)，每次向左(或右)走一個(gè)單位長(zhǎng)度，走10步，到達(dá)4所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，求不同的走法有幾種”.

評(píng)注本題的立意是要求學(xué)生真正理解、領(lǐng)悟知識(shí)的本質(zhì)，思維要求較高，值得關(guān)注．

2.5 構(gòu)造幾何模型

2.5.1 構(gòu)造圓模型

例10已知平面向量α,β,(α≠0,α≠β)滿足|β|=1，且與β-α的夾角為120°，則|α|的取值范圍是________．

(2010年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題)

分析本題考查平面向量的四則運(yùn)算及其幾何應(yīng)用，突出考查問(wèn)題的轉(zhuǎn)化能力和運(yùn)用數(shù)形結(jié)合方法解題的能力．

評(píng)注在近幾年的浙江省數(shù)學(xué)高考試題中，平面向量試題的命制往往兼顧向量的代數(shù)性質(zhì)和幾何背景,而構(gòu)造適當(dāng)?shù)钠矫鎴D形，借助平面幾何的性質(zhì)解題已成為一道獨(dú)特的“風(fēng)景”．

2.5.2 構(gòu)造圓柱模型

例11如圖1所示，AB是平面α的斜線段，A為斜足.若點(diǎn)P在平面α內(nèi)運(yùn)動(dòng)，使得△ABP的面積為定值，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是

( )

A．圓 B．橢圓

C．1條直線 D.2條平行直線

(2008年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題)

圖1 圖2

分析如圖2所示，因?yàn)椤鰽BP的面積為定值，AB是定線段，所以動(dòng)點(diǎn)P到定線段AB的距離為常數(shù)(不妨設(shè)為d)，則P在以直線AB為軸，半徑為d的圓柱側(cè)面上，于是可結(jié)合圓柱模型作答.

解由于動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為圓柱側(cè)面被平面α所截的圖形，而軸AB是平面α的斜線段，于是圓柱側(cè)面與平面α斜交，因此動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為橢圓.故選B.

評(píng)注本題是立體幾何中的軌跡問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是理解圓錐曲線的“由來(lái)”，這提示我們應(yīng)充分重視課本知識(shí)和數(shù)學(xué)概念，理解其本質(zhì)含義．

2.5.3 構(gòu)造正方體模型

( )

圖3

分析若利用正四面體外接球的性質(zhì)，構(gòu)造直角三角形去求解，過(guò)程冗長(zhǎng)，容易出錯(cuò).把正四面體補(bǔ)形成正方體，則迎刃而解.

評(píng)注補(bǔ)形是解立體幾何題的一種重要方法.幾何體的補(bǔ)形要圍繞已知條件來(lái)進(jìn)行，通常策略是把棱錐補(bǔ)成棱柱，把臺(tái)體補(bǔ)成錐體，把不規(guī)則幾何體補(bǔ)成規(guī)則幾何體等．

3 精題集萃

( )

3．已知直線l1:4x-3y+6=0和直線l2:x=0，拋物線y2=4x上一動(dòng)點(diǎn)P到直線l1，l2的距離之和的最小值是________．

5．設(shè)實(shí)數(shù)x,y滿足3x2+2y2≤6，求2x+y的最大值．

6．圓x2+(y-1)2=1上任意點(diǎn)P(x,y)中的x,y對(duì)不等式x+y+m≥0恒成立，求m的取值范圍．

參考答案