等與不等相互轉化中不等的構建

●

(麗水中學 浙江麗水 323000)

等與不等相互轉化中不等的構建

●應之寧紀斐

(麗水中學 浙江麗水 323000)

等與不等關系在數學中是既對立統一又相互聯系的，它們是中學數學中最基本的辯證關系之一.等的關系體現了數學的對稱美和統一美，不等關系則呈現出了數學的奇異美.在解題中兩者的相互轉換，特別是構建不等關系促成相等關系，經常讓人感覺雖構思巧妙，但技巧性太強，因此在教學中應當將著力點置于“如何讓學生的思路自然地接受解法”.筆者認為：難點在于如何構建不等，如果能引導學生在構建不等的過程中充分利用各種數學思想方法，那么學生在解題時便能克服思維障礙、優化解題思路.

1 模型思想從相等中構建不等

例1設a1，d為實數，首項為a1，公差為d的等差數列{an}的前n項和Sn，滿足S5S6+15=0，則d的取值范圍是________．

(2010年浙江省數學高考理科試題)

方法2由S5S6+15=0,得

得

評注方法2如何想到構造不等式？再次審視題目，題中條件是等式，要求的是范圍，從等到不等，而等與不等相互轉化溝通中最常用的數學模型就是基本不等式.這樣,解題思路就自然而又流暢.

2 整體代換思想形成不等促等

分析由題意得

評注本題如何由條件中的等導出不等？自然會想到要構建不等，利用整體代換的思想構建基本不等式，利用“一正、二定、三相等”求出最小值，解法靈活.這種類型的題目是高中數學的經典類型.

3 分類討論思想構造不等促等

即

cosαsinα-sinβsinα=sinβsinα-cosβsinβ

得

解得

k>-1，

又

故

-1

可得

即

從而

cos2α+(1-k2)2sin2α=(k+1)2,

得

(k4-2k2)sin2α=k2+2k.

(1)當k=0時,上式成立，則

即

從而 cos(α+β)= cosαcosβ-sinαsinβ=

sinβcosβ-cosβsinβ=0.

(2)當k2-2=0時,k(k2-2)sin2α=k+2不成立.

(3)當k≠0且k2-2≠0時,

解得

k>2或k<-2,

這與-1

從而

即

同理可得

同理可得

因此

評注分類討論解題的實質，是將整體問題化為部分問題來解決,以增加題設條件.分類討論要注意綜合討論的結果，以使解題步驟完整.本題的2種證法均利用分類討論思想排除不等的可能，從而促成相等.

4 數形結合思想構造不等促等

例4已知函數f(x)=x3-(k2-k+1)x2+5x-2,g(x)=k2x2+kx+1，其中k∈R．

(1)設函數p(x)=f(x)+g(x)．若p(x)在區間(0,3)上不單調，求k的取值范圍.

(2009年浙江省數學高考理科試題)

解(1)略.

(2)當x<0時，

q′(x)=f′(x)=3x2-2(k2-k+1)x+5，

當x>0時，

q′(x)=g′(x)=2k2x+k，

因為當k=0時不合題意，因此，下面討論k≠0的情形:

①當x1>0時，q′(x)在(0，+∞)上遞增，要使q′(x2)=q′(x1)成立,則只能x2<0，從而k≥5(如圖1).

圖1 圖2

②當x1<0時，q′(x)在(-∞，0)上單調遞減，要使q′(x2)=q′(x1)成立，則只能x2>0，從而k≤5(如圖2).

綜合①②可得，k=5.

圖3

檢驗:如圖3，對任意給定的非零實數x1，存在唯一的非零實數x2，使得q′(x2)=q′(x1)成立.

評注在本題中，運用數形結合思想，不僅容易直觀地發現解題途徑，而且能避免復雜的計算與推理，大大簡化了解題過程.利用“形”具有形象、直觀的優點，可以把“數”的對應用“形”找出來，利用圖形來解決問題.數形結合在實現由不等向相等、由變量向常量、由運動變化狀態向靜止狀態的轉化中起著重要作用，這也是在不等中尋找相等、運動中尋找靜止的重要途徑.

5 函數與方程思想構造不等促等

例5求出所有這樣的正整數a，使得二次方程2ax2+2(4a-1)x+4(2a-3)=0至少有1個整數根.

解將原方程轉化為

因為a為正整數，所以

即

x2+3x-2≤0，

解得

因為x是整數，所以x=-3,-1,0.從而滿足條件的a=3,5.

評注本題首先利用參數分離法，利用題目中的參數范圍構建不等，從而得到x的取值范圍，根據題設得出結論.這是函數與方程思想在構建不等策略中的一個巧妙的運用.

6 逼近思想構建不等促等

從而

解得

評注本題使用了正弦函數的有界性和基本不等式，分別構建了2個不等式，從2邊逼近“夾”出相等，要注意的是基本不等式應用前提的創設也是解題中的一個基礎.

總之，在各地的數學高考試題中，利用不等促等的問題猶如沙灘上的珍珠般，雖稀少但不時地閃現.因此在數學教學中，應充分滲透數學思想方法在解題中的應用，在利用不等促等的這種解題策略時，讓突兀變成自然，才能充分地培養和提升學生的創造性思維.

6 精題集萃

1.f(x)=ax3-3x+1對于x∈[-1,1]總有f(x)≥0成立，則a=________.

(2008年江蘇省數學高考試題)

參考答案

1.a=4

即

故

(a2+b2)(2-a2-b2)=1，

解得

a2+b2=1．

b2+c2=2bcsinA≤2bc.

又b2+c2≥2bc,得

b2+c2=2bc，

(1)當a>0時，

②若00,得a>-3，則0

(2)當a=0時，對任意x∈[1,+∞),f(x)>0恒成立,則a=0.

(3)當a<0時,f(x)min=f(1)>0,得a>-3,則-3

綜上可知，實數a的取值范圍為a>-3.

a>[-(x2+2x)]max=-3,

因此實數a的取值范圍為(-3,+∞).