“正難則反”思想

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(紹興市第一中學 浙江紹興 312000)

“正難則反”思想

●虞金龍

(紹興市第一中學 浙江紹興 312000)

在近幾年的高考試題中，“正難則反”思想屢見不鮮，一些數學高考題的證明常常會用到反證法,選擇正確便捷的逆向思路來解答是每個學生面臨的難題.解題時應時刻明確:解題的最終目的是什么,如何運用各種手段直接達到目的.要盡量避免盲目推理而造成循環運算，“正難則反”是解決此類問題的一個好辦法.本文主要探究“正難則反”思想在高考中的應用.

1 正難則反——巧用等價命題

例1函數f(x)的定義域為A，若x1,x2∈A且f(x1)=f(x2)時總有x1=x2，則稱f(x)為單函數．例如，函數f(x)=2x+1(x∈R)是單函數．下列命題：

①函數f(x)=x2(x∈R)是單函數；

②若f(x)為單函數，x1,x2∈A且x1≠x2，則f(x1)≠f(x2)；

③若f：A→B為單函數，則對于任意b∈B，它至多有一個原象；

④函數f(x)在某區間上具有單調性，則f(x)一定是單函數．

其中的真命題是____________(寫出所有真命題的編號).

(2011年四川省數學高考理科試題)

分析對于命題①，若f(x1)=f(x2)，則x1=±x2，不滿足單函數的定義；命題②實際上是單函數命題的逆否命題，故為真命題；對于命題③，若任意b∈B，b有2個及以上的原象，也即當f(x1)=f(x2)時，不一定有x1=x2，不滿足題設，故該命題為真；根據定義，命題④不滿足條件．

評注命題②實際上是單函數命題的逆否命題，因此利用等價命題可知命題②為真命題.

例2若直線l不平行于平面α，且l?α，則

( )

A.α內的直線都與l異面

B.α內不存在與l平行的直線

C．α內存在唯一的直線與l平行

D．α內的直線與l都相交

(2011年浙江省數學高考文科試題)

分析在平面α內存在直線與l相交，故A不正確；若α存在直線與l平行，因為l?α，則有l∥α，與題設矛盾，所以B正確，C不正確；在平面α內不過l與α交點的直線與l異面，故D不正確.

評注該題考慮已知條件“直線l不平行于平面α”的反面——相交和平行，巧用等價命題.

2 正難則反——巧用補集思想

學生在解題時習慣于正向思維，從問題的正面入手，但是很多問題從正面著手不易解決.嘗試采用“正難則反”的解題策略往往會起到事半功倍的效果，大大降低題目的難度.所謂“正難則反”，歸根結底是一種“轉換”的數學思想，其中的“正”和“反”也會依據不同的題目而發生轉化，這是一種打破常規思維，采用逆向思考的解題策略.

如“集合”與它的“補集”是一組相對的概念，若“集合”為“正”，則“補集”為“反”.求解“集合”的問題轉換為先求解其“補集”再求“集合”，即逆向思維的解題技巧，也就是用補集思想解題.

例3已知集合A={(x,y)|x2+mx-y+2=0,x∈R}，B={(x,y)|x-y+1=0,0≤x≤2}.若A∩B=φ，求實數m的取值范圍．

由A∩B≠φ知式(1)在區間[0,2]上至少有一個實數解.設式(1)的2個根為x1,x2，由Δ=(m-1)2-4≥0,得m≥3或m≤-1．

當m≥3時，由x1+x2=-(m-1)<0,x1·x2=1知x1,x2都是負數，不合題意；當m≤-1時，由x1+x2=-(m-1)>0,x1·x2=1>0知x1,x2是互為倒數的2個正數，故x1,x2必有一個在區間[0,1]內，從而式(1)在區間[0,2]上至少有一個實數解.

評注本題易犯的失誤有：一是誤以為集合A是一個一元二次方程的解集,二是不考慮集合B中對x的限制，從而在整個實數集上求解．本題的幾何背景是：拋物線y=x2+mx+2與線段y=x+1(0≤x≤2)無公共點，求實數m的取值范圍，正難則反巧用補集思想，迎刃而解.

3 正難則反——巧用定值轉化命題

圖1

(1)求該橢圓的標準方程.

(2011年重慶市數學高考理科試題)

(x,y)= (x1,y1)+2(x2,y2)=

(x1+2x2,y1+2y2)，

即

x=x1+2x2,y=y1+2y2.

因為點M，N在橢圓x2+2y2=4上，所以

20+4(x1x2+2y1y2).

設kOM,kON分別為直線OM，ON的斜率，由題設條件知

從而

x1x2+2y1y2=0,

即

x2+2y2=20,

評注本題即要證：動點到2個定點距離之和是常數.考慮橢圓的定義，正難則反巧用定值，轉化命題.

4 正難則反——巧用對立事件

圖2

例5如圖2所示，用3類不同的元件K,A1,A2連接成一個系統，K正常工作且A1,A2至少有一個正常工作時，系統正常工作.已知K,A1,A2正常工作的概率依次為0.9,0.8,0.8，則系統正常工作的概率為

( )

A.0.960 B.0.864 C.0.720 D.0.576

(2011年湖北省數學高考理科試題)

分析A1,A2至少有一個正常工作的概率為

1-0.04=0.9，

從而系統正常工作概率為

0.9×0.96=0.864.

故選B.

評注至少有一個正常工作的對立事件是都不正常工作，正難則反巧用對立事件，迎刃而解.

例6一位國王的鑄幣大臣在每箱100枚的硬幣中各摻入了1枚劣幣，國王懷疑大臣作弊，他用2種方法來檢測.方法1：在10個箱子中各任意抽查1枚；方法2：在5箱中各任意抽查2枚.國王用方法1、方法2能發現至少1枚劣幣的概率分別為p1和p2，則

( )

A.p1=p2B.p1

C.p1>p2D.以上3種情況都有可能

(2010年江西省數學高考理科試題)

從而

p1

故選B.

5 正難則反巧——用反證法

(1)求g(x)的單調區間和最小值.

(2011年陜西省數學高考理科試題)

分析(1)(2)略.

(3)滿足條件的x0不存在．證明如下：

g(x)-g(x0)≥1,

從而

評注第(3)小題的存在性問題通常采用假設存在，然后進行求解，注意利用前2個小題的結論．

5 精題集萃

1.記實數x1，x2，…，xn中的最大數為max{x1,x2,…,xn}，最小數為min{x1,x2,…,xn}.已知△ABC的3條邊長為a,b,c(a≤b≤c)，定義它的傾斜度為：

( )

A.必要而不充分的條件

B.充分而不必要的條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

(2010年湖北省數學高考理科試題)

2.投擲一枚均勻硬幣和一枚均勻骰子各一次，記“硬幣正面向上”為事件A,“骰子向上的點數是3”為事件B,則事件A，B中至少有一件發生的概率是

( )

(2010年湖北省數學高考理科試題)

(2010年重慶市數學高考理科試題)

(2010年重慶市數學高考文科試題)

(1)至少有1株成活的概率；

(2)2種大樹各成活1株的概率．

(2009年重慶市數學高考文科試題)

6.(1)已知2個等比數列{an},{bn}，滿足a1=a(a>0),b1-a1=1,b2-a2=2,b3-a3=3.若數列{an}唯一，求a的值.

(2)是否存在2個等比數列{an}，{bn},使得b1-a1,b2-a2,b3-a3,b4-a4成公差不為0的等差數列？若存在，求出{an},{bn}的通項公式；若不存在，請說明理由．

(2011年江西省數學高考文科試題)

(1)證明數列{an}中有無窮多項為無理數；

(2)當n為何值時，an為整數，并求出使an<200的所有整數項的和.

參考答案

(2)假設存在這樣的等比數列{an},{bn}公比分別為q1,q2，則

b2-a2=b1q2-a1q1,

由b1-a1,b2-a2,b3-a3,b4-a4成等差數列得

聯立并化簡可得

a1(q1-q2)(q1-1)2=0.

由a1≠1得

q1-q2=0或q1-1=0,

均可得到矛盾,從而不存在這樣的等比數列{an},{bn}.

7．(1)證法1由已知條件得

從而

取n-1=242k-1，則

用反證法證明這些an都是無理數.

an-24k≥1.

(2)S= (5+11+…+197)+(1+7+…+199)=