“算兩次”的思想方法
——解決數學問題的一把金鑰匙

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(杭州學軍中學 浙江杭州 310012)

“算兩次”的思想方法
——解決數學問題的一把金鑰匙

●鄭日鋒

(杭州學軍中學 浙江杭州 310012)

美國數學教育家波利亞說“為了得到一個方程，我們必須把同一個量以兩種不同的方法表示出來”，即將一個量“算兩次”，從而建立相等關系，這就是算兩次原理，又稱富比尼(G.Fubini)原理．單墫教授在文獻[1]中，將算兩次原理形象地比喻成“三步舞曲”，即從2個方面考慮一個適當量，“一方面……，另一方面……，綜合起來可得……”，如果一個數學研究對象具有“雙重身份”或“兩面性”，也就是說既滿足條件A又滿足條件B，就可以考慮使用這種方法．

“算兩次”是從不同角度看問題的另一種說法，是一種常用的數學方法，它體現了數學的轉化思想、方程思想.本文闡述“算兩次”思想在解題中的作用．

1 建立方程(等式)

通常的列方程其實就是一種“算兩次”．2個方面考慮的是同一個量，因此結果相等，這就產生了方程(等式)．許多數學公式的推導可以運用“算兩次”思想，如兩角和的余弦公式的向量方法證明．

圖1

解因為點B，F，E共線，所以存在實數m，使

因此

由平面向量基本定理，得

證明由題意得

f′(x)=x2+2ax+b.

設f(x)的2個極值點為x1,x2，則x1,x2∈[1,2]，且x1,x2是方程f(x)=0的2個根,于是

f′(x)=(x-x1)(x-x2),

得

即

由1≤x1≤2,得

同理可得

于是

即

0≤a+b≤2.

2 建立不等式

如果在考慮一個量時，一方面得到了精確的結果，而另一方面采用了估計(放縮)，或者2個方面都采用了估計(一放大、一縮小)，那就產生了不等式．

例3對于某些正整數n，存在A1,A2,…,An為集合{1,2,…,n}的n個不同的子集，滿足下列條件：對任意不大于n的正整數i,j，①i?Ai，且每個Ai中至少含3個元素；②i∈Aj的充要條件是j?Ai(其中i≠j)．為了表示這些子集，作n行n列的數表，規定第i行第j列的數為

(1)求該數表中每列至少有多少個1；

(2)用n表示該數表中1的個數，證明：n≥7；

(3)請構造出集合{1,2,3,4,5,6,7}的7個不同子集A1,A2,…,A7，使得A1,A2,…,A7滿足題設條件(寫出1種答案即可)．

解(1)由①知數表中每列至少有3個1．

(3)可以構造A1={2,3,4},A2={3,4,5},A3={4,5,6},A4={5,6,7},A5={6,7,1},A6={7,1,2},A7={1,2,3}.

例4已知f(x)是定義在R上的函數，且對任意x∈R，滿足f(x+4)-f(x)≤2x+3，f(x+20)-f(x)≥10x+95，且f(0)=0，則f(24)=________.

解f(24)=f(0)+[f(4)-f(0)]+[f(8)-

f(4)]+…+[f(24)-f(20)]≤

2×(0+4+…+20)+3×6=

f(24)=f(4)+[f(24)-f(4)]≥f(4)+135,

同理可得

f(20)≤95,f(20)≥95,

因此

f(20)=95.

由于f(20)≤95是將5個同向不等式相加而得到的，因此這5個同向不等式同時取等號，故f(4)-f(0)=3,即f(4)=3,從而f(24)≥138.

綜上所述

f(24)=138.

評注本題2次利用了算兩次思想，均實現了以不等促相等．

例5已知等差數列{an}的首項為a，公差為b，等比數列{bn}的首項為b，公比為a，其中a,b都是大于1的正整數，且a1b2,對于任意的n∈N*，使得am+3=bn成立，則an=

( )

A.2n+1 B．3n-1

C．5n-3 D.6n-2

解由a3>b2得

由a1

a

(2)

因為a,b都是大于1的正整數，將式(1)的2邊都除以ab，得

由式(2)得

(4)

由式(3)，式(4)得

即

a<3.

又由a>1，得

a=2.

等式am+3=bn可化為

2+(m-1)b+3=b·2n-1,

即

b·(2n-1-m+1)=5,

因此b是5的約數，故b=5.綜合可得

an=2+(n-1)·5=5n-3.

故選C．

3 歸謬

在解決某些存在型探索性問題(或反證法證明命題)時，首先假設滿足條件(或假設結論不成立)，考慮某個量的性質，從2個不同的角度，也會得到2個不同的關系，而這2個關系是互相矛盾的，從而說明不存在(或假設錯誤)．

(1)若函數f(x)是定義域上的單調函數，求實數a的最小值.

(2)在函數f(x)的圖像上是否存在2個不同的點A(x1,y1),B(x2,y2)，線段AB的中點的橫坐標為x0，直線AB的斜率為k，有k=f′(x0)成立？若存在，請求出x0的值；若不存在，請說明理由．

a≥1.

綜上所述，a≥1,a的最小值為1．

(2)假設存在，不妨設0

從而

若k=f′(x0),則

即

(5)

可得u(t)在0

u(t)

式(5)不成立，與假設矛盾,于是

k≠f′(x0).

因此，滿足條件的x0不存在．

以上例舉了利用“算兩次”思想建立方程(等式)、建立不等式、歸謬，“算兩次”思想還有其他方面的應用，限于篇幅，本文不再贅述．下面的問題供有興趣的讀者練習．

4 精題集萃

圖2

(1)求圓G的半徑r;

(2)過點M(0，1)作圓G的2條切線交橢圓于點E，F， 證明：直線EF與圓G相切．

(2009年江西省數學高考文科試題)

2．已知函數f(x)=x3-(k2-k+1)x2+5x-2，g(x)=k2x2+kx+1，其中k∈R．

(1)設函數p(x)=f(x)+g(x)，若p(x)在區間(0,3)上不單調，求k的取值范圍.

(2009年浙江省數學高考理科試題)

參考答案

2．(1)k∈(-5,-2)；(2)存在，且k=5.

3．提示：由柯西不等式，得

由x+y+z=3,得

從而

得

xyz≥1.

由3個正數的平均不等式，得

即

xyz≤1,

因此，xyz=1,故x=y=z=1.

[1] 單墫．解題研究[M]．上海：上海教育出版社，2007.