高考中的函數與方程思想

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(杭州市第二中學 浙江杭州 310053)

高考中的函數與方程思想

●徐存旭

(杭州市第二中學 浙江杭州 310053)

思想即理性認識，是相對于感性認識而存在的，是對于感性認識加工的結果.函數思想，即用運動和變化的觀點、集合與對應的思想，分析和研究數學問題中的數量關系，利用函數知識或函數觀點觀察、分析問題，建立函數關系或構造函數，運用函數的圖像和性質去分析問題、轉化問題，從而解決問題.方程思想，就是分析數學問題中變量間的等量關系，運用數學語言將問題中的條件轉化為數學模型，運用方程的性質去分析、轉化問題，使問題獲得解決.

函數思想與方程思想都是用運動、聯系和變化的觀點來看數學問題.函數與方程、不等式是通過函數值等于0、大于0和小于0而相互關聯的，二者之間既有區別又有聯系.

1 考查要求

函數與方程思想是中學數學的基本思想，也是歷年高考的重點，在選擇、填空和解答題中都有涉及.選擇和填空題中更多的是思想方法的基本運用，在解答題中，則從更深的層次、在知識網絡的交匯處，從思想方法和相關能力的關系角度綜合考查.函數在中學數學中的地位決定了函數與方程思想成為核心的思想，也成為高考考查的重點.

2 考點回顧

縱觀歷年考題可以發現，函數與方程思想是每份高考試卷必考的內容.如2011年浙江省數學高考理科試卷中，涉及到函數與方程思想的題目有第5，6，8，10，13，14，16，17題，在解答題中幾乎都有涉及，占有重要的地位.其他年份考查的頻率也基本相當.

3 典例剖析

例1設a,b,c為實數,f(x)=(x+a)(x2+bx+c),g(x)=(ax+1)(cx2+bx+1).記集合S={x|f(x)=0,x∈R},T={x|g(x)=0,x∈R}.若|S|,|T|分別為集合S,T的元素個數，則下列結論不可能的是

( )

A．|S|=1且|T|=0 B.|S|=1且|T|=1

C.|S|=2且|T|=2 D.|S|=2且|T|=3

(2011年浙江省數學高考理科試題)

分析將方程進行分解，分別考慮類似的方程因式.對于“x+a=0”與“ax+1=0”，前者的零點個數為1，后者當a≠0時，零點個數為1，當a=0時零點個數為0.對于“x2+bx+c=0”與“cx2+bx+1=0”，當c=0時，若b=0,前者的零點個數為1，后者的零點個數為0，若b≠0,前者的零點個數為2，后者的零點個數為1；當c≠0時，注意到2個方程的判別式Δ相等，零點的個數即根的個數相等.結合選項知a=0，Δ=b2-4c<0，即選項A成立；當a≠0，Δ=b2-4c<0，選項B成立；當a≠0時且Δ=b2-4c=0，選項C可能成立(如a=1，b=c=4).若|T|=3，則a≠0且c≠0，Δ=b2-4c>0，則|S|=3必成立.故選D.

( )

(2008年浙江省數學高考理科試題)

分析這是三角函數中典型的給值求值的一類問題.已知條件中涉及2個量sinα,cosα，注意到sinα和cosα的一個隱含關系cos2α+sin2α=1，應用方程的思想，構造關于sinα和cosα的方程組，可以求得sinα和cosα的值，從而可得tanα的值.

即

從而

f′(α)=-sinα+2cosα=0，

得tanα=2.故選B.

評注注意到已知條件中量的個數和關系，應用方程的思想可以分別求出sinα和cosα的值，進而求得tanα的值，這是方程思想.對一般的問題“asinα+bcosα=c”，運用此思想和方法，均可求tanα的值或判斷其值是否存在.注意到題中特殊的數量關系，通過構造函數，利用函數取得極值的條件，便可求解.其實，一道試題，都是一類問題的“共性”和“個性”的統一，如果能充分地注意到這一點，利用合適的數學方法和思想進行思考，往往能收到事半功倍的效果.

例3已知集合

則集合M表示的圖形是

( )

A.直線 B.線段 C.拋物線 D.圓

分析本題若通過平方化簡方程，運算較為復雜，可以從函數和變量的角度進行思考.

lg1=0，

從而g(x)=-g(y)，得x=-y，即x+y=0.

如果注意到已知條件中等式的代數結構，可以考慮其共軛式，構造方程來求解.

即s,t分別是方程

s2-2xs-1=0,t2-2xt-1=0

的正根，整理得

2式相加，結合st=1，得

即

x+y=0.

評注上述3種思路或構造函數，或顯化方程的關系，減少了計算量，這契合了高考“多考點想，少考點算”的命題原則，也從另一個方面說明在函數與方程思想的指引下，為尋找解題思路、簡化解題過程提供了可能.當然，注意到本題是一道選擇題，還可以通過做選擇題的技巧，如代值法求解，令x=-1，0，1，分別得y=1，0，-1，否定選項C，D，注意到x，y的取值范圍為R，即得選項A.

(1)求橢圓G的焦點坐標和離心率；

(2)將|AB|表示為m的函數，并求|AB|的最大值.

(2011年北京市數學高考理科試題)

(1+4k2)x2-8k2mx+4k2m2-4=0.

設點A,B的坐標分別為(x1,y1)，(x2,y2),則

又l與圓x2+y2=1相切，得

即

m2k2=k2+1,

又

m∈(-∞，-1)∪(1，+∞)，

評注解析幾何中考查弦長或面積的最值問題是高考中的重點和熱點，求解的關鍵是建立弦長或面積的目標函數，應用函數或不等式知識求解最值.

例5設函數f(x)=(x-a)2lnx，a∈R.

(1)若x=e為y=f(x)的極值點，求實數a；

(2)求實數a的取值范圍，使得對任意的x∈(0,3e]，恒有f(x)≤4e2成立.

(2011年浙江省數學高考理科試題)

分析第(1)小題通過求導得

因為x=e是f(x)的極值點，所以

第(2)小題，注意到只需考慮當x∈(1,3e]時，(x-a)2lnx≤4e2成立即可.令x=e，代入f(x)≤4e2得

(e-a)2≤4e2，

解得

-e≤a≤3e.

當x∈(a,3e]時，f(x)單調遞增，則

f(3e)≤4e2

整理得

4x2(lnx)3≤4e2，

評注導函數的綜合問題是2011年浙江省數學高考的壓軸題.結合指數、對數函數應用導數工具求最值或求參數的取值范圍是高考設問的熱點.應用函數與方程的思想，列出方程，構造輔助函數是求解此類問題常用的方法.

4 精題集萃

1.函數f:{1,2,3}→{1,2,3}滿足f(f(x))=f(x)，則這樣的函數個數共有

( )

A．1個 B．4個 C．8個 D．10個

( )

( )

A．-6 B．6 C．-7 D．7

( )

( )

A．b2>4acB．b2≥4ac

C．b2<4acD．b2≤4ac

7.已知平面向量滿足α,β(α≠0,α≠β)，滿足|β|=1,且α與β-α的夾角為120°，則|α|的取值范圍是________.

(1)求sinC的值；

(2)當a=2，2sinΑ=sinC時．求b及c的長．

9.設函數f(x)=x3+2ax2+bx+a，g(x)=x2-3x+2，其中x∈R，a,b為常數，已知曲線y=f(x)與y=g(x)在點(2,0)處有相同的切線l.

(1)求a，b的值，并寫出切線l的方程；

(2)若方程f(x)+g(x)=mx有3個互不相同的實根0,x1,x2，其中x1

參考答案

1.D 2.C 3.B 4.C 5.B

從而

9.解(1)切線l的方程為x-y-2=0.

(2)由第(1)小題得

f(x)=x3-4x2+5x-2,

所以

f(x)+g(x)=x3-3x2+2x.

由題意，方程x(x2-3x+2-m)=0有3個互不相同的實數0，x1,x2，因此x1,x2是方程x2-3x+2-m=0的2個相異的實根，從而

Δ=9-4(2-m)>0,

即

對任意的x∈[x1,x2],f(x)+g(x)

f(x1)+g(x1)-mx1<-m

成立，得m<0.由韋達定理得

x1+x2=3>0,x1x2=2-m>0,

故

0

對任意的x∈[x1,x2],有

x-x2≤0,x-x1≥0,x>0,

則

f(x)+g(x)-mx=x(x-x1)(x-x2)≤0.

又f(x1)+g(x1)-mx1=0,故f(x)+g(x)-mx在x∈[x1,x2]的最大值為0.于是當m<0時，對任意x∈[x1,x2],f(x)+g(x)