簡談分類討論思想在高考題中的應(yīng)用

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(溫州中學(xué) 浙江溫州 325000)

簡談分類討論思想在高考題中的應(yīng)用

●李芳陳巴爾

(溫州中學(xué) 浙江溫州 325000)

1 考點分析與命題走向

分類討論是解決含有多種情況的復(fù)雜數(shù)學(xué)問題的重要思想.此類數(shù)學(xué)問題覆蓋的知識點較多，有利于考查學(xué)生的知識面，同時思想方式多樣，具有較高的邏輯性和較強的綜合性，對培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)密性、嚴(yán)謹(jǐn)性、靈活性以及提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力具有較大的幫助.因此有關(guān)分類討論思想的數(shù)學(xué)試題一直是高考中的熱點.

高考考查分類討論思想的命題主要集中在2個方面：一是排列組合或概率，多為選擇、填空題；二是函數(shù)的概念、性質(zhì)及導(dǎo)數(shù)，多為解答題.

那么在什么情況下要進(jìn)行分類討論呢？常常會遇到這樣的情況：解到某一步之后，不能再用統(tǒng)一的方法、統(tǒng)一的式子繼續(xù)進(jìn)行了，因為這時被研究的問題包含了多種情況，所以必須在條件所給出的總區(qū)域內(nèi)，正確劃分若干個子區(qū)域，然后分別在多個子區(qū)域內(nèi)進(jìn)行解題，這就是分類討論的思想方法.這里集中體現(xiàn)的是由整體化為部分的方法，其研究方向基本是“分”，但分類解決問題之后，還必須把它們整合在一起.因此，分類總是伴隨著整合，“合—分—合”是運用分類討論思想解決問題的一種基本模式.

2 典例解讀

2.1 選擇標(biāo)準(zhǔn)，逐級討論

一個排列組合問題中往往包含多個限制條件，該先考慮哪個分類標(biāo)準(zhǔn)？選定后，又該如何有序地進(jìn)行討論？這就是選擇標(biāo)準(zhǔn)，逐級討論.

例1某車間有11名工人，其中有5名鉗工、4名車工，另外2名既能當(dāng)車工又能當(dāng)鉗工，現(xiàn)在要在這11名工人中選派4名鉗工、4名車工修理一臺機床，有多少種不同的選派方法？

分析本題中的不確定因素是2名既能當(dāng)車工又能當(dāng)鉗工的“多面手”的工作安排，因此從“多面手”出發(fā)可以有不同的分類標(biāo)準(zhǔn).

解法1按照選出的4名鉗工中分別有0名、1名、2名“多面手”進(jìn)行分類：

解法2按照2名“多面手”中有幾名參加工作進(jìn)行分類：

點評對比以上2種方法，雖然都分3種情況討論，但解法2還需多層分類，最終分成6種情況，比解法1麻煩.對于同一道題目，如果采取不同的分類標(biāo)準(zhǔn)，解題的難易程度往往也不一樣.因此，在解題過程中，選取較為合適的分類標(biāo)準(zhǔn)，有時可以簡化解題步驟.

例2已知a,b是實數(shù)，函數(shù)f(x)=x3+ax，g(x)=x2+bx，f′(x)和g′(x)分別是f(x)和g(x)的導(dǎo)函數(shù)，若f′(x)g′(x)≥0在區(qū)間I上恒成立，則稱f(x)和g(x)在區(qū)間I上單調(diào)性一致.

(1)設(shè)a>0，若f(x)和g(x)在區(qū)間[-1,+∞)上單調(diào)性一致，求b的取值范圍；

(2)設(shè)a<0且a≠b，若f(x)和g(x)在以a,b為端點的開區(qū)間上單調(diào)性一致，求|a-b|的最大值.

(2011年江蘇省數(shù)學(xué)高考試題)

分析第(1)小題的答案為b≥2.第(2)小題，要確定以a,b為端點的開區(qū)間，要先討論a與b的大小.由于a<0，當(dāng)b

解法1當(dāng)b

(3x2+a)(2x+b)≥0.

由b

b

設(shè)z=a-b，考慮點(b,a)的可行域，設(shè)y=-3x2的斜率為1的切線為l,切點為(x0,y0),則

故

當(dāng)a

(3x2+a)(2x+b)≥0,

得

2x+b<0,a≤-3x2，

從而

a≤-3a2,

即

故

當(dāng)0

當(dāng)a<0=b時，對任意x∈(a,0),2x(3x2+a)≥0,得

3x2+a≤0,

即

a≤-3x2,

從而

a≤-3a2，

得

故

2.2 挖掘特點，減少分類

在函數(shù)問題中，往往由于所含參數(shù)的不確定而進(jìn)行分類討論，但并不是問題中一出現(xiàn)參數(shù)就一定要分類討論.利用數(shù)形結(jié)合、函數(shù)思想等方法可減少或避免分類討論，從而達(dá)到迅速、準(zhǔn)確的解題效果.例2的第(2)小題還有另外一種巧妙的解法.

(以上巧妙地利用特值排除了b>0的情況，使討論的總區(qū)域大為減少.)

(結(jié)合函數(shù)的零點，考慮取值，獲得更小的討論區(qū)域.)

點評例2對分類討論思想的考查要求很高.利用解法1求解，需要學(xué)生具備嚴(yán)密的邏輯性、較強的運算能力，才能達(dá)到分類明了、運算快捷的解題效果；而利用解法2求解，則需要學(xué)生具備敏銳的觀察力、較強的綜合思維能力，以減少討論類別，避免繁瑣的分類運算.挖掘題目中的隱含條件，可縮小討論范圍，以下列舉幾個減少分類的例子.

例3已知f(x)=ax3-3x+1，對于x∈[-1,1]，f(x)≥0恒成立，求a的取值范圍.

分析本題先由f(1)≥0得到a≥2，從而使a的討論總區(qū)域從R減少為[2,+∞).利用數(shù)形結(jié)合等方法，發(fā)現(xiàn)圖像特征(拋物線對稱軸確定、過定點)，從而得解.

例4已知t為常數(shù)，函數(shù)y=|x2-2x-t|在區(qū)間[0,3]上的最大值為2，則t=________.

(2008年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題)

分析本題中拋物線的對稱軸是確定的.因此，直接討論函數(shù)在0，1，3處的值，再代入驗證即可，這樣可避免對拋物線最低點的討論.

(1)求函數(shù)G(x)=h(x)+f(x)的單調(diào)區(qū)間.

(2)當(dāng)a=2，問是否存在實數(shù)t>0，使得函數(shù)F(x)=h(x)-tg(x)+f(x)有2個相異的零點？若存在，請求出t的取值范圍；若不存在，請說明理由.

分析本題在分析求導(dǎo)后，發(fā)現(xiàn)一個關(guān)鍵的圖像特征：拋物線過定點，即

2.3 熟知常規(guī)分類，避免易錯點

除了排列組合、函數(shù)(導(dǎo)數(shù))這2類典型問題外，還有許多問題由于考生缺乏分類意識而頻頻犯錯.

例6設(shè)A={x|x2+2x+lg(9a-2a2)≤0}，B={x|x≥0},且A∩B=φ，求實數(shù)a的取值范圍.

易錯點容易遺漏A=φ的情形.

例7在平行四邊形ABCD中，AB=AC=1，∠ACD=90°，將它沿對角線AC折起，使AB和CD成角90°，則點B,D間的距離為

( )

例8過點(-4，3)的直線l在2個坐標(biāo)軸上的截距的絕對值相等，求直線l的方程.

易錯點容易遺漏截距為0的情形.

答案3x+4y=0,x+y+1=0,x-y+7=0.

例9有4根長都為2的直鐵條，若再選2根長都為a的直鐵條，使這6根鐵條端點處相連能夠焊接成一個三棱錐形的鐵架，則a的取值范圍是

( )

(2010年遼寧省數(shù)學(xué)高考理科試題)

易錯點遺漏類型.按三棱錐長為a的2條棱的位置分類：①長為a的2條棱過同一頂點；②長為a的2條棱為三棱錐的一組對棱，其余各棱長為2.選項A正確.

以下列出有關(guān)概念、定理、公式、法則、圖像等常規(guī)分類情況，以備考生注意.

(1)絕對值的概念——對|x|要分3種情況：x>0,x=0,x<0；

(2)函數(shù)f(x)=ax2+bx+c——當(dāng)a≠0時是二次函數(shù)，當(dāng)a=0,b≠0時是一次函數(shù)；

(3)等比數(shù)列的求和公式——分2種情況：q=1，q≠1；

(4)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性——分2種情況：01；

(5)直線的斜率——分為存在和不存在這2種情況；

(6)2個點在同一平面的同側(cè)、異側(cè)；

(7)二次函數(shù)圖像的對稱軸相對于定義域的不同位置；

(8)不等式(x-1)(x-a)>0的解分3種情況a>1,a=1,a<1；

(9)不等式ax2+bx+c>0的解根據(jù)a的取值與Δ的值可分7種情況；

(10)涉及到整數(shù)或自然數(shù)的問題或(-1)n時，可對整數(shù)分為奇數(shù)和偶數(shù)這2種情況，或者把整數(shù)按以某個自然數(shù)為模的同余類分類；

(11)在線性規(guī)劃題中，將所有邊界函數(shù)的斜率作為分類標(biāo)準(zhǔn).

3 精題集萃

1.將3個相同的黑球和3個相同的白球自左向右排成一排，如果滿足：從任何一個位置(含這個位置)開始向左數(shù)，黑球的個數(shù)大于等于白球的個數(shù)，就稱這種排列為“有效排列”，則出現(xiàn)“有效排列”的概率為

( )

(2009年浙江省溫州市一模數(shù)學(xué)試題)

2.將標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,6的6張卡片排成3行2列，要求3行中僅有中間行的2張卡片上的數(shù)字之和為5，則不同的排法共有________種.

3.已知x軸上有2個點A(-3,0),B(1,0).在直線x+y+1=0上取一點C(x,y)，使得△ABC為直角三角形，則點C的坐標(biāo)為________.

4.實數(shù)k為何值時，方程kx2+2|x|+k=0有實數(shù)解？

5.設(shè)函數(shù)f(x)=e2-1-x-ax2.

(1)若a=0，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若當(dāng)x≥0時，f(x)≥0，求a的取值范圍.

(2010年全國數(shù)學(xué)高考試題)

參考答案

1.B 2.64

5.(1)f(x)在(-∞,0)單調(diào)遞減，在(0,+∞)單調(diào)遞增；