堅持能力立意 貼近學生實際
——2011年浙江省數學高考卷評析與啟示

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(浙江師范大學 浙江金華 321004)

堅持能力立意貼近學生實際
——2011年浙江省數學高考卷評析與啟示

●石泉

(浙江師范大學 浙江金華 321004)

2011年是浙江省新課程高考方案實施后的第3年，數學高考命題以“順應課改，保持穩定”為命題指導思想，秉承多年來浙江省自主命題的成功經驗，從學科知識、思想方法和學習潛能出發，以教材為藍本，以考試說明為依據，遵循《省教學指導意見》，繼續堅持“有利于高校選拔新生，有利于中學數學推進課程改革”的命題原則，遵循當前教學實際，努力減輕學生學習負擔.在考查基礎知識的同時，注重考查能力，全面檢測考生的數學素養和進入高校繼續學習的潛能，著力體現“控制難度、穩中漸變、變中求善、貼近實際、回歸課本”等命題特色.整個試題背景熟悉，載體簡單，注重思維，注重能力，給人以“常規試題作考題，平淡之中見功底”之感覺，試卷得到廣大師生普遍認同，對當前高中數學教學方式的改進有著重要的導向作用.

1 試卷評析

1.1 堅持穩中漸變，貼近學生實際

近幾年浙江省高考自主命題，數學試題形成了10道選擇題、7道填空題、5道解答題的格局以及緊扣考試說明、題干簡潔、注重本質的特色，在2011年的命題中仍延續這一格局和特色，全卷結構穩定，選擇題、填空題、解答題題型保持不變.在題型的布局上遵循了考試說明中的參考卷，選擇題、填空題增加了中檔題，適度降低壓軸題的難度，解答題采取低起點、寬入口、多層次、高落點的方式，使各類試題基本呈現出“入手容易、階梯遞進、拾級而上”的特點.各類題型力求由易到難，階梯遞進，給人以“入手容易深入難”的感覺，遵循了學生的應試心理，總體難度力圖貼近當前高中學生的實際水平.試題難度與2010年相比,理科略有下降，抽樣平均為88分；文科持平，抽樣平均為90分.

難度設置合理，從試題難度系數看，不僅在難度上設置區分，而且在思維層次上加大區分.

1.2 立足雙基考查，注重知識覆蓋

試題立足雙基考查，覆蓋了高中數學的主干內容與新課程的新增內容.支撐高中數學學科知識的主干內容，如函數、三角函數、平面向量、數列、不等式、立體幾何、解析幾何、概率統計、導數及其應用，仍是考查的重點，做到重點內容常考常新.新課程不作教學要求的內容，如三垂線定理、圓錐曲線第二定義、2條直線夾角公式、反函數、復雜的復合函數等，做到不超綱、不打“擦邊球”.對新課程增加的學習內容的考查，既有面的兼顧，又有點的深度，如三視圖、算法初步在文、理科試卷中均有涉及，零點及零點存在定理在理科第22題(壓軸題)的考查中還達到了一定的深度.

整份試卷既有基礎的考查，又有能力的考查.如理科第1～8,11～13題及第18～22題的第(1)小題均屬于基礎知識范疇，涉及總分至少有70分.試題堅持全面考查與突出雙基相結合，試題既有面的兼顧，又有點的深入，既考慮知識的覆蓋，又不拘泥具體的模塊課時，具體詳見文后表1和表2.

1.3 重視課本使用，回歸數學教材

教材是學生學習數學的主要素材,但在實際教學時，過多的課外輔導資料,不僅加重了學生的學習負擔，而且學生學習過程舍近就遠，本末倒置，效率低下.為改變當前高三數學教學忽視教材的陋習，試題設計時有意識地將教材中的習題進行了移植與改編，如理科第4題、文科第4題直接移植于人教A版必修2第2章教材練習題.又如理科第5題線性規劃等題也由人教A版必修5教材中線性規劃例題改造而成，給人以“題在書外，根在書中”之感覺，從而引導高中數學教學要重視教材的使用與研究.

1.4 保持試題簡明，倡導通性通法

試題敘述簡明是浙江省數學高考命題多年來的特色，2011年仍予以保持.命題既考慮到數學學科的科學嚴謹及符號化表現等要求，又兼顧學生的年齡心理特征，試題敘述力求簡潔與規范相結合，不給學生在讀題與理解題意上增加難度,不讓考生在讀題上花過多的時間，不因試題表述不清或太長而給考生答題造成思維、心理上的障礙．確保試題的文字表達、符號表示及圖形設置自然流暢.縱觀全卷，所有試題淡雅樸實、干凈利落，題干與題意一目了然.

倡導使用常用的數學解題方法來解高考題是歷年來高考命題的一個出發點.各類試題命制時充分考慮了解題方法的大眾化與常規化，不在冷僻的技巧上設置問題，不搞獨門技巧，著力在考通性通法上下功夫.試題不偏不怪，以通法為主，解法多樣，考生可運用常規的思路進行求解，但考生要快速準確無誤地完成解答，則又需要有扎實的數學功底.簡言之，通性通法與巧妙辦法要雙管齊下，以此甄別考生的數學素養.例如理科第16題：

設x，y為實數，若4x2+y2+xy=1，則2x+y的最大值是________．

解法1令2x+y=t，則y=t-2x，代入已知條件化簡得

6x2-3tx+t2-1=0.

因為x為實數，所以

Δ=9t2-24(t2-1)≥0，

解法2由已知條件得

即

上述2種解法均屬于通性通法.解法1是以“換元法”和“判別式法”為主導的解法，解法2的核心則是配方法與基本不等式法.這些方法均是數學的一般方法.

1.5 遵循能力立意，引領少教多悟

數學命題堅持原創試題，堅持能力立意，一方面是公平的要求，另一方面也是選拔人才的要求.相對2010年而言,2011年的選擇題、填空題及解答題的壓軸題，在能力考查的綜合度、思維的深度、靈活度方面略有下降，如理科第10題：學生理解題意、動手嘗試比2010年要容易，當然要得出正確選項仍非易事，需要有一定的能力；理科第17題，相比前幾年，難度有所降低，面貌親和；理科第22題是通常的含參數不等式恒成立條件下的定范圍問題，注意到在x∈(0,1]時不等式恒成立，即當x∈(1,3e]時不等式恒成立，然后通過參數分離、求導得出參數范圍，體現了求參數取值范圍的基本方法和利用導數解決問題的基本方法.該題學生會有熟悉的感覺，但分類討論、抽象概括、運算求解等綜合能力仍左右著解題的成敗.

總之，試題設計時充分考慮了高考試題對高中數學教學的導向作用，因此在編制了足夠的常規題的同時，還別具匠心地設計了一些立意高遠、背景公平、內涵豐富、設問通俗、解答靈活的創新試題，如理科第5，8，9，10，15，17，21，22題.其中第5題看似容易,卻要求考生從觀察條件到建立圖解模型，具備數形結合思想、嘗試驗證、數學建模等能力.第15題既是對建立數學模型能力的考查，也是對運算求解能力的考查.文科第10題是頗具高觀點的試題，題中f(x)取二次函數是非本質的，在-1處只要可導且f(-1)+f′(-1)=0即可.第21題設計的函數解析式f(x)=a2lnx-x2+ax(a>0)有一定的創新，首次出現對數函數，同時第(2)小題的設問方式(求所有的實數a，使得e-1≤f(x)≤e2對x∈[1,e)恒成立)對文科考生來說也是新穎別致的.這些創新題給人以似曾相識又不乏新意的感覺，進一步昭示考生“做題不在多，有法則行；做題不在難，有意則靈”.高中數學教學應在核心知識、核心概念上下功夫，不要將太多的精力投放于重復的無意義的模擬練習之中.

1.6 關注文理差異，發揮各自效能

新課程實施以來，文、理科學習內容的差異十分明顯，本次高考命題注意到文、理科學生在學習內容、學習能力、學習遷移上的差異，準確定位各自的考查內容與考查目標.全卷中文、理科相同的題目有3題，姐妹題有7題，不同的題目有12題.理科側重于考查理性思維與抽象概括，文科側重于考查形象思維和定量處理.在抽象思維、運算求解、空間想象、問題解決等方面，文科與理科都作了適當的降低.在相同知識點處的考查，通過移植改編、錯位排列、構造新題等手法設計文科試題，兼顧文、理差異.如文科第19題的數列題在理科第19題的基礎上，通過減少分類討論層次，降低考查要求改編而成.又如文科第20題的立體幾何題，由理科第20題的動態變化與開放性設問的二面角問題改編成顯性的確定的二面角問題.再如文科壓軸題是將理科第21題中的圓移至拋物線外重新設計構造而成，試題新穎優美，耐人尋味.

1.7 把握數學本質，強化理性思辨

1.8 定位自選試題，微調試題難度

2 一點啟示

閱卷發現很多考生雙基很薄弱，主要表現在概念不清、運算錯誤、思維僵化、生搬硬套、無從入手、策略不當等.如考生在解答理科第18題時，沒有從等式“sinA+sinC=psinB(p∈R)”中審出“p>0”這個隱含條件，不能進行等價轉換.在解答理科第19題時，不能對子數列進行處理及分類討論，在解答理科第21題時不能優化解題策略，對參數較多的情形簡便處理.總體而言，學生的運算能力、空間想象能力、抽象概括與分析問題、解決問題的能力還不盡人意，啟示我們在未來的教學中要抓綱務本，夯實基礎，重視《省教學指導意見》、《考試說明》及教材，做到刪除的內容不再撿回，降低了要求的內容不再拔高.解題教學要向學生暴露思維過程，解題切入點或突破口的選定要舍得花時間分析引導，問題解決中“坎”的跨越、“陡坡”的攀登要濃墨重彩，使學生在不同情境下、辨析中、應用里熟練扎實地鞏固雙基，提高綜合解題能力.

附：

表1 2011年數學高考理科卷考查內容分布

章次知識選擇題填空題解答題數量分值數量分值數量分值考查內容總分值占全卷比值/%一集合與常用邏輯用語210集合元素計數與充要條件106.7二函數15140.710分段函數、函數極值等性質,導數應用及參數范圍1912.7三三角函數15114三角恒等變換、解三角形1510四平面向量14平面向量概念、數量積42.7五數列114等差、等比數列概念,通項公式,數列求和及大小比較149.3六不等式1514二元一次不等式組、均值不等式96七立體幾何15115三視圖,空間點、線、面位置關系,二面角,空間向量的應用1912.7八解析幾何1514115圓錐曲線幾何性質、直線圓錐曲線位置關系、解析幾何基本思想方法2416九計數原理1514排列與組合96十概率與統計1514概率、分布列與期望96十—導數及其應用0.34導數概念、導數應用42.7十二算法初步14程序框圖42.7十三數系的擴充與復數引入15復數運算、共軛復數概念53.3

表2 2011年數學高考文科卷考查內容分布