具有優化步長的最速下降法MPPT控制

王洪斌， 賀晙華， 賀輝

(1．燕山大學電氣工程學院工業計算機控制工程河北省重點實驗室，河北秦皇島 066004;2．河北省精密數控專用設備工程技術中心，河北保定 071000)

0 引言

隨著煤、石油、天然氣等非可再生能源的不斷消耗，能源問題和環境問題的日益突出，作為清潔能源的太陽能越來越受到重視。近年來，光伏發電及相關技術的應用突飛猛進，并成為新型可再生能源研究的熱點之一。據專家估計，到2040年，全球的光伏發電量將占世界總發電量的26%;2050年后，太陽能將成為世界能源的支柱。

眾所周知，光伏陣列在工作時存在一個最大功率點(maximum power point，MPP)，且 MPP會隨環境的變化而變化［1］。因此，為了獲得最大的輸出功率，需要通過電力電子技術和自動控制技術實現太陽能光伏發電的最大功率點跟蹤(maximum power point tracking，MPPT)。

目前，較為簡單實用的MPPT方法主要有恒壓控制法、擾動觀察法和電導增量法［2－3］。此外，隨著對自動化智能控制技術的深入研究，神經網絡控制法［4］、模糊 PID 控制法［5］和模糊自適應控制法［6］也逐漸被國內外學者用于光伏MPPT領域。針對上述所提出的各種MPPT方法，主要的評價指標有:1)穩態特性，即達到穩定工作狀態時的實際功率與該條件下可利用功率之差;2)動態特性，即尋找并穩定工作在MPP的跟蹤速度;3)實現成本，主要指傳感器和處理器的成本。有些算法需要額外的光照、溫度傳感器，而有些算法計算量太大，需要高性能的處理器。文獻［7］對多種方法進行了分析和比較，總體來看MPPT的穩態性能、動態性能和實現成本難以兼顧。本文提出一種具有最優步長的最速下降MPPT算法，該方法可以在不增加實現成本的條件下，通過較簡單且易實現的算法，使系統穩定工作在最大功率點，同時跟蹤過程具有良好的穩態性能和動態性能。

1 太陽能電池的電路模型和特性

太陽能電池的輸出伏安特性曲線具有較強的非線性，而且與日照強度、環境溫度等氣象因素有關。當光照強度、溫度等自然條件改變時，太陽能電池的輸出特性也將隨之改變，輸出功率及最大功率工作點亦相應改變。太陽能電池的等效電路如圖1所示。

圖1 太陽能電池的等效電路Fig．1 Equivalent circuit of PV cell

根據如圖1所示的太陽能電池的等效電路，可以推導出太陽能電池的輸出特性方程［1，8］為

式中:IL為電池單體的輸出電流，在此取常值11 A;Isc為光生電流;IRsh為流過并聯等效電阻的電流;Irs為反向飽和電流;q為電子核電和數，取常值1.61×10－19C;U為電池單體的輸出電壓;Rs為串聯等效電阻;A為二極管品質因子常數;K為玻爾茲曼常數，取常值1.38×10－23J/K;T為電池表面的絕對溫度;Rsh為并聯等效電阻;Iscr為參考條件下的電池短路電流;ki為短路電流溫度系數;Tr為參考溫度，取常值301.18 K;λ為光照強度;Ior為參考溫度下的反向飽和電流;EG為電池半導體帶隙能量常數。事實上，在進行理想電路計算時，太陽能電池的內電阻Rs與Rsh可忽略不計。此時，式(1)所述的電池的簡化模型為

式中，Io為太陽能電池在無光照時的飽和電流［1］。

在實際應用時，一般由太陽能電池單體組成光伏陣列。當光伏陣列中的各組件特性比較一致、外界環境比較均一時，由以上模型可以得出光伏陣列的輸出電壓和輸出電流之間的關系，簡稱I－V特性，如圖2所示。

圖2 光伏電池I－U、P－U輸出特性曲線Fig．2 I－U，P－U output characteristics of PV cell

由I－U特性曲線可知，光伏陣列是一種非線性直流電源;由P－U特性曲線可知，當各組件特性比較一致、外界環境比較均一時，光伏電池存在唯一的MPP，通過多次實驗驗證其電壓約為開路電壓的0.78～0.82倍。

2 算法原理及相關分析

經典的擾動觀察法跟蹤速度和跟蹤精確度難以兼顧:擾動步長越大，速度越快但精確度越差;擾動步長越小，精確度越高，但速度越慢。由于不斷地進行擾動尋優，因此光伏系統不能穩定工作在MPP，而是在MPP附近搖擺，從而在一定程度上造成了功率的損失。

本文提出一種動態跟蹤時間短，跟蹤速度快，穩態跟蹤精確度高，并能在外界擾動下快速達到新MPP的MPPT算法。其核心思想為，考慮光伏陣列的特性曲線是一個性質優良的單峰曲線，尤其是在MPP附近為一近似二次函數，并可以進行無限次微分。因此，將MPPT這一過程設定為一個一維尋優問題，通過具有最優步長的迭代算法迅速達到并穩定在MPP。同時，相比于其他的一維尋優算法，如牛頓法、二次插值法、黃金分割法等［9－10］而言，最速下降法的尋優效果與上述算法相近，但前者具有收斂速度快、迭代次數少，計算簡單等優點。最速下降算法具體的推導，在文獻［11］中已敘述十分詳細，在此就不再贅述。下面給出具有最優步長的最速下降MPPT算法的原理及具體推導過程。

若f(X)具有二階連續偏導數，先求解出最優步長，由Taylor公式可知

式中，H(Xk)為f(X)在點Xk的Hesse矩陣。

因此，具有最優步長的最速下降法公式為

式中:Jk為變量X第k步的梯度，Jk=▽f(Xk);Tk為第k步的最優步長，Tk=▽f(Xk)T▽f(Xk)/［▽f(Xk)TH(Xk)▽f(Xk)］。

將(7)式代入式(8)可得

可得最優步長為

對于MPPT算法而言，其是以太陽能電池陣列的輸出電壓UPV為自變量、太陽能電池陣列的輸出功率PPV為函數的最大值一維尋優。由太陽能電池模型式(4)，可得到功率公式和電壓迭代公式為

式中:H(Uk)為f(U)在點Uk的Hesse矩陣;PPVk為太陽能電池陣列在迭代第k步時的輸出功率;UPVk為太陽能電池陣列在迭代第k步時的輸出電壓。

由于式(12)為超越方程，無法直接求解，從而無法直接獲得光伏電池U－P曲線的一階微分和二階微分，故在此采用數值計算方法求得。為減小計算量，采用最簡單的差商近似微商的方法，即

因此，由式(13)和式(14)可知具體的迭代算法，根據當前時刻連續的3個工作點，計算下一時刻的電壓值，如此循環，從而一步步逼近MPP。

在前文已經提到，光伏陣列存在一個MPP，通過多次實驗驗證其電壓約為開路電壓的0.78～0.82倍。由此，為了減少迭代次數，迭代初值一般應設為開路電壓的0.7倍，并設定停止閾值ε。同時，由于光伏陣列的特性，在MPP時，▽f(Uk)=0，故以▽f(Uk)＜ε作為允許終止條件，終止迭代。

在文獻［11］中，給出了關于最速下降法的收斂性證明，在此不再證明。但必須指出的是，最速下降法的收斂速度為超線性。因此，該算法有較好的收斂速度。

控制算法和數學優化算法有顯著的區別，即物理狀態下工作狀態的突變，由于慣性等因素的影響，使其工作過程必須會連續地經過兩個工作點之間的所有工作點。正是基于此原因，在實現上述算法時，不用等到實際系統達到該工作點再進行下一次迭代，而是在電壓調節的過程中，實時在線監測光伏陣列的電壓、電流信號，取當前連續時刻的3個工作點值進行計算，實時在線修正電壓的指令值，這樣避免了算法在系統達到穩態時，輸出電壓在MPP兩側反復迭代，而是達到某個允許范圍內后立即停止，從而提高了跟蹤速度和穩態精確度。算法流程如圖3所示。

圖3 算法流程Fig．3 The chart of algorithm program

通過上述算法，可以得到光伏陣列下一時刻的期望輸出電壓值，之后利用PI調節器調節DC/DC變換器的占空比D從而實現最大功率跟蹤［12］。

3 仿真結果分析

根據太陽能電池的數學模型，在Matlab/SIMULINK環境中建立具有MPPT功能的光伏陣列仿真模型。采用變步長的ode23tb(stiff—TR—BDF)進行仿真，設定初始條件為標準光照1 kw/m2和常溫25℃，采樣時間設為0.1 ms。圖4為擾動觀察法和具有最優步長的最速下降法輸出功率的對比結果，圖中曲線1為采用擾動觀察法所得的跟蹤曲線，曲線2為采用帶最優步長的最速下降法所得的跟蹤曲線。圖5為光強和溫度均發生變化時具有最優步長的最速下降法的動態過程，光照強度λ由800 W/m2躍變到1 000 W/m2，溫度T由0℃躍變到25℃。

由圖4和圖5可知，和擾動觀察法相比，具有最優步長的最速下降法動態跟蹤時間短，速度快，穩態跟蹤精確度高，可以有效解決擾動觀察法不能穩定地工作在MPP，而在其左右振蕩，從而造成功率損失的問題，并能在外界擾動下再次快速達到MPP的MPPT算法。

圖4 輸出功率的對比結果Fig．4 Comparative results of output power

圖5 溫度、光強均變化時的跟蹤過程Fig．5 Process of temperature and light intensity all changed

4 實驗結果分析

實驗硬件平臺為一套200 Wp的太陽能供電系統，主電路由Boost電路連接電源和負載。主開關管采用絕緣柵雙極型晶體管(insulated gate bipolar transistor，IGBT)。負載包括蓄電池和可調電阻。控制電路由接口電路、驅動電路和DSP2812 3大部分組成。DSP2812的頻率高達150 MHz，大大提高了控制系統的控制精確度和芯片處理能力，指令運算速度快，具有多通道PWM，采用12位A/D轉換。接口電路主要由精確度較高的霍爾電壓電流傳感器組成［13］。

實驗過程中天氣晴朗，日照較均勻。先用恒壓控制設置電池板的初始電壓為開路電壓的0.7倍，啟動MPPT算法，并在20～25 ms左右時找到最大功率點。實驗波形如圖6所示。

圖6 最大功率跟蹤過程Fig．6 Process of maximum power point tracking

5 結語

本文提出了一種用于光伏發電系統的具有最優步長的最速下降MPPT算法，可在各種情況下實現光伏電池的最大功率跟蹤，且具有良好的動態性能和穩態性能。該系統效率高，低損耗，實現容易，并通過仿真和實驗結果驗證了該方法的有效性。

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