放縮法在遞推數列中的再探究

從良法

眾所周知，放縮就是將不能求和的數列轉化為可以求和的數列。既然是轉化為可求和的數列，那么應當使轉化盡可能的“精確”。例如：

已知數列，，其前項和為，證明：.

這個證明比較簡單，只需要將

然后保留第一項不放縮既可證明。而如果要證明，如果用上述方法則需要保留前兩項才可以。

如果只保留一項顯然通過這種放縮方法是行不通的。因此我們要提高放縮的精確度，我們可以修改放縮方法提高精確度。

如果這樣做精確度高了很多，這樣子放縮就只需要保留一項既可以了。

如果要證明，對的放縮就需要更進一步提高精確度了。在此我們可以用：

保留兩項做到，如下：

如果少保留項數的話我們就必須更進一步提高精確度。事實上我們可以將：

這樣做精確度顯然又提高了。因為，因此只要證明比這個小都可以做到。

通過上面的例子我們不難得出，放縮的越精確，得到的結果越好，越接近于原先的和值。提高的精確度的路徑有兩條，一是改變放縮方法提高精確度，二是多保留幾項。

筆者參加一次課課堂評比活動，某老師最后將遞推數列化到證明，對于這個她講了三種方法，分別如下。

方法一：利用真分數的性質，也就是 “糖水不等式”。

轉化為等比數列求和.

方法二：也是將其轉化為等比求和.

方法三：迭代思想，.

以上三種解法保留第一項不變，從第二項開始放縮都可以得到答案。然后老師將試題變為，學生就放縮不出來了。老師說這幾種方法都行不通，于是從函數角度分析了它所謂的本質。方法一和方法二最后都是放縮到等比數列去，為了提高精確度學生發現保留三項都不可以。

因為

但是所以這種方法行不通了；

事實上如果繼續保留四項還是行不通。問題出在放縮的精確度過了，也就是放多了，為此我們要提高放縮的精確度。事實上方法三是非常好的方法。因為這個關系始終成立！所以我們有如下放縮：

觀察對比不難發現這兩種放縮主要相差在第四項的處理上，顯然迭代的放縮精確度提高了。我們不妨把第三種放縮的方法稱為“類等比放縮”，也就是轉化為等比數列去求原數列的“近似和”。

繼08年浙江卷數列退出壓軸后，15年又重新歸來，其主要考查的就是遞推數列。而用“類等比放縮”是一種很好的方法用以解決遞推數列放縮，下面舉例說明。

例1 已知數列，

（1）若數列從第二項起每一項都大于1，求實數的取值范圍；

（2）若，記是數列的前項和，證明：

分析：這是高三期末測試卷.第一問略，我們考慮到要證明的式子左邊有字母，而右邊是前項和.因此只需證明 .

，通過特征方程的不動點易求的.

下面我們用“類等比放縮”就可以輕松完成證明。

，

例2 已知數列，，，.記，

求證：當時，（1）；（2）；（3）

分析：這是2008年浙江省高考理科最后一題，（1）（2）略.這里用“類等比放縮”證明第三問；

不妨記，即證.由題目易知

，這里我們先求“類等比數列”的公比：于是有

例3 已知為過原點的二次函數，對于任意的有

數列滿足 .

（1）求函數；

（2）證明：；

（3）證明：

分析：這是杭州市高三模擬試題.由題不難求出，第二問先求出，然后作差即可證.第三問后半部分的證明比較簡單，有了（2）的基礎即可證明.這個題最難證明的是：

如何說明呢？我們從題設分析左邊有，而，因此可轉化為證明.這就又回到了“類等比放縮”

于是“類等比數列”的公比就求出來了，于是：

通過上面的幾個例子不難發現，“類等比放縮”的確可以提高放縮的“精確度”，而且很多遞推數列可以轉化到“類等比數列”上去。最后我們再次指出放縮法證明數列不等式時精確度越高越好，提高的路徑有兩條，一是改變放縮方法提高精確度，二是多保留幾項，但是一般不超過三項。endprint