對一節『課題學習』的認識

☉江蘇省贛榆縣外國語學校 顏世波

一、關于“課題學習”

在新課程標準目錄的第三部分“內容標準”中我們可以看到，每個學段均分為“數與代數”、“空間與圖形”、“統計與概率”、“實踐與綜合應用”四個領域，并分別闡述其內容標準.其中“實踐與綜合應用”是幫助學生綜合運用已有知識與經驗，經過自主探索和合作交流，解決與生活經驗密切聯系的、具有一定挑戰性和綜合性的問題，以提高學生解決問題的能力，加深對“數與代數”、“空間與圖形”、“統計與概率”內容的理解，體會各部分內容之間的聯系.對于七—九年級的“實踐與綜合應用”，新課程標準是以“課題學習”的形式出現的（第一、第二學段則以“實踐活動”、“綜合應用”的形式出現），從已見到的“蘇科版”教材看，每一冊均在課本最后安排編寫一個“課題學習”的內容，讓學生探討一些具有挑戰性的研究課題，發展應用數學知識解決問題的意識和能力；同時進一步加深對相關數學知識的理解，認識數學知識之間的聯系.

課題學習的具體目標是：

1.經歷“問題情境—建立模型—求解—解釋與應用”的基本過程.

2.體驗數學知識之間的內在聯系，初步形成對數學整體性的認識.

3.獲得一些研究問題的方法和經驗，發展思維能力，加深理解相關的數學知識.

4.通過獲得成功的體驗和克服困難的經歷，增進應用數學知識的自信心.

七年級上學期數學課本安排的“課題學習”的題目是“制作無蓋的長方體紙盒”，它正是《全日制義務教育數學課程標準（實驗稿）》中的一個案例.新課標在此明確指出，通過這個課題學習，讓“學生進一步豐富自己的空間觀念，體會函數思想及符號表示在實際問題中的應用，進而體驗從實際問題中抽象出數學知識的理解，發展自己的思維能力”.這就為我們教學“制作無蓋長方體紙盒”這一“課題學習”指明了目標和方向.

二、教師應了解本課題學習的數學背景

“蘇科版”七年級數學（上冊）P125安排的“課題學習”是“制作無蓋的長方體紙盒”，其內容為：

●如何用一張正方形的硬紙制作無蓋的長方體紙盒？

●怎樣制作才能使長方體紙盒的容積盡可能大？

對于第一個問題，課本通過“議一議”：無蓋長方體紙盒展開后是什么形狀？幾乎所有學生都有這樣的感性認識：只要將正方形硬紙的四個角剪去大小一樣的正方形，然后折起來，就可以制成一個無蓋的長方體紙盒（當然，用一張正方形的硬紙制作無蓋的長方體紙盒也可有其它的制作方法），因此，無蓋長方體紙盒展開后可以是正方形的硬紙四角剪去大小一樣的小正方形后余下的部分.對于第二個問題，可以采用合作學習的方式，引導學生通過實踐研究去嘗試、體會“無蓋長方體容積變化與小正方形邊長變化”之間的關系.這個問題的實質是高中函數、不等式有關知識及應用.對于教師來說，應該了解本課題深刻的數學背景.

如圖1，設正方形硬紙的邊長為a，其中四個角上剪去小正方形的邊長為則制成的無蓋長方體的容積V可以表示成x的函數：

圖1

要求V的最值可以用高中不等式的知識求解.

三、通過課題的學習使學生獲得一些研究問題的方法與經驗

1.對于課本P175“做一做”中的“制作容積盡可能大的無蓋長方體紙盒”，可引導學生利用“插值法”尋找V的最值.

①因為x=3時，V3=588；x=4時，V4=576.

②再在兩個較大值之間插值：

因為x=3時，V3=588；x=3.5時，V3.5=591.5.

V3.25=（20-2×3.25）2×3.25≈592.31（cm3）.

③再在兩個較大值之間插值：

因為x=3.5時，V3.5=591.5；x=3.25時，V3.25≈592.31（cm3）.

如此繼續操作.可在精度范圍內逼近最值.

2.對此問題的解決，可以用華羅庚先生的優選法（0.618法）.

①由前面的計算知，x1=3、x2=4時對應的容積較大，因此在x1=3和x2=4之間插入x3，取x3=x1+0.618×（x2-x1）=3.618，計算對應的容積：

②再在兩個較大值之間插值：

所以在x1和x3之間插入x4＝x1+0.618（x3-x1）≈3.382，

計算對應的容積：V3.382=（20-2×3.382）2×3.382≈592.50（cm3）.

由此可知華羅庚先生的優選法比一般的插值法要好，它可以通過較少的插值次數獲得較高的精度.

總之，通過本課題的學習，我們可以讓學生獲得如下的一些研究問題的方法和經驗：

①體會用“離散”來描述“連續”，或通過畫出統計圖等方法來研究一些量的變化規律；

②體會用“插值法”（含優選法）尋找最值的經驗.

四、課本最后“想一想”的解決

課本P175安排了“想一想”：你還能制作容積更大的無蓋長方體嗎？

回答這個問題，可以有兩個層次.

第一，用插值法探求.在刻度尺精度范圍內，取x=3.3或3.4cm時，可以得到比較理想的容積更大的無蓋長方體.

第二，改變原先的設計.不剪去正方形硬紙的四個角，不浪費材料，例如，把正方形硬紙對折，取其一半作為長方體的底，另一半平均分為三部分，取其二作為長方體的兩個側面，再把余下的一塊一分為二，作為長方體的另兩個側面.此時無蓋長方體的容積：