因式分解切記四個“必須”

☉江蘇省泰興市黃橋初級中學 段圣鳳

把一個多項式寫成幾個整式的積的形式叫做因式分解.因式分解的基本思路：首先考慮是否有公因式可以提取，其次考慮能否運用公式進行分解，最后要檢查每一個因式是否已經完全分解.下面對因式分解的結果與同學們談幾個基本要求：

一、必須是恒等變形的結果

分析：有些同學誤用等式的性質，把多項式各項都乘以4，得到a3b2+4ab3c，再分解成ab2（a2+4bc）.顯然，該解法沒有遵循恒等變形這一原則，所得結果是錯誤的.

正確解法：

二、必須是若干因式的乘積

例2 分解因式：6mx－6mx2－24m3.

分析：有些同學注意到前兩項可運用提取公因式法，于是將其分解因式結果為6mx（1－x）－24m3，這個結果雖然是恒等變形，但不是幾個因式的乘積形式，所得結果是錯誤的.

正確解法：

原式=6m（x－x2－4m2）.

三、結果形式必須是最簡化的

結果中的每個多項式因式不能有同類項，相同因式應寫成冪的形式.

例3 分解因式：（1）（a－b）2+2a（a－b）；（2）（x2+3x）2－（x+3）2.

分析：有些同學分解結果不符合要求：（1）（a－b）［（a－b）+2a］；

（2） （x+3）（x+1）（x+3）（x－1），結果不是最簡形式，應進一步化簡.

正確解法：

（1）原式=（a－b）（3a－b）.

（2）原式=（x+3）2（x+1）（x－1）.

四、必須分解到不能再分解為止

例4 分解因式：3mx－6my.

分析：有些同學直接提取公因式字母m，忽視了常數，所得錯解為m（3x－6y）.

正確解法：

原式=3m（x－6y）.

例5分解因式：（x+y）2－（xy+1）2.

分析： 有同學分解為（x+y+xy+1）（x+y－xy－1），這個結果是不正確的，因為最后的結果還可以繼續分解.

正確解法：

原式=（x+y+xy+1）（x+y－xy－1）=（x+1）（y+1）（x－1）（1－y）.

例6 分解因式：a4－8a2b2+16b4.

分析： 有些同學直接運用公式法得到（a2－4b2）2，這個結果是錯誤的，因為在有理數范圍內，還可以將（a2－4b2）繼續分解.

正確解法：

原式=（a2－4b2）2=（a+2b）2（a－2b）2.

點評：因式分解的結果必須是幾個因式的乘積，且每個因式必須都是不能再分解為止，特別是觀察積中有二次或二次以上的因式時，看看能不能再分解.