“線段之和最短問題”初探

☉浙江省嵊州市開發區三塘中學 黃小芹

中考數學復習，最讓老師頭疼的是例題的選擇與設計，如何讓知識點在短短的45分鐘內，讓學生最大限度的掌握，是我們數學老師一直探索的課題.我覺得能對各種類型很好的歸類總結，能幫助我們解決這一問題.線段之和最短問題在近幾年的中考中頻繁出現，學生碰到此類問題往往束手無策，針對此種情況，我把此類問題分成以下幾種類型來解決.

一、一個動點兩個定點

例1 有一小牧童，家住A地，每天他趕著牛群先到河邊飲水，然后再到B地吃草，他發現了一條捷徑，使牛群所走的路程最短.你會用數學思想解決這個實際問題吧，誰來解釋.

評析：這一問題可能有不少學生很難一下子回答，所以我覺得教師可以提示學生，若河對岸有一草地B，牧童想趕著牛群直接過河去B處吃草，你知道捷徑嗎？那么學生很容

易想到兩點間線段最短，直接把AB兩點連一下即為最短路徑.從而聯想到要解決剛才這個問題的話，即要使得AC+CB最短，若B在河對岸的話那就可以解決，而要把B移到對岸就是要找B點關于河l的對稱點B′，然后連接AB′，則AB′與l的交點C′即為使得路程最短的點，這樣就解決了這一問題.

從而得到：解決一個動點兩個定點型兩線段距離最短的方法：轉化為找其中一定點的對稱點（對稱軸為動點所在的直線），然后連接另一定點及對稱點的線段長度為最短距離.此類應用相當的廣泛，下面我們來看幾個變式.

變式1：如圖2，正方形ABCD的邊長為8，M在DC上，且DM=2，N是AC上一動點，則DN+MN的最小值是多少？

評析：這一變式就是一動點兩定點求最短問題的直接應用，無非是把背景放到一個正方形中，運用例題的作圖的方法，借助動點N所在的正方形對角線AC為對稱軸，而B為D關于AC的對稱點，連接BD與AC的交點為所求的使得DN+MN最小的點N，BM為它的最小值，就可求出BM=10.這一變式中還可以改為P為AD上一點，AP=6，N仍為AC上一動點，則△PMN的周長的最小值是多少？△PMN的周長即為PM+MN+PN，PM為定值，要使周長最小，即為MN+PN最小.如圖3，只需找出P關于對稱軸AC的對稱點P′，連接P′M交AC于點N′，此時△PMN的周長最小，最小值為此題還可以把AP=6和DM=2變成AP+CM=12，求MN+PN最小值，這樣就增加了一些難度，應該看出P′G=AP′+CM-AB=4，從而可解得最小值為線段MP′的長.

類似的變式還可以存在于等腰三角形、菱形、等腰梯形、拋物線、圓等軸對稱圖形中.

變式2：如圖4所示，在邊長為6的菱形ABCD中，∠DAB=60°，E為AB的中點，F是AC上一動點，試確定點F的位置，使△BEF的周長最小，最小值是多少？

變式3：如圖5，A是半圓上一個三等分點，B是弧AN的中點，P是直徑MN上一動點，⊙O的半徑為1，求AP+BP的最小值.（答案：

變式4：如圖6，已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=60°，AD=DC，BC=6，點N在BC上，CN=2，在AC上找一點M使△BMN的周長最小，求出周長的最小值.

變式5：已知拋物線y=ax2+bx+c的圖像經過點A、B、C三點.（1）求此拋物線的解析式和對稱軸.（2）若一個動點M自P出發，先到達對稱軸上某點（設為點F），最后運動到點A.確定使點M運動的總路徑最短的點F的位置，并求出這個最短路程的長.（3）若一個動點M自P出發，先到達x軸上的某點（設為點E），再到達拋物線的對稱軸上某點（設為點F），最后運動到點A.確定使點M運動的總路徑最短的點E、點F的位置，并求出這個最短路程的長.

評析：此題的第二題為上面講的兩動點一定點型求最小值，而第三題的情形屬于下面我講到的兩動點兩定點型.

二、一個定點兩個動點

此種題型又可以分為幾類，下面我從三方面來分析.

例2 如圖7，∠AOB=45°，P是∠AOB內一點，PO=10，Q、R分別是OA、OB上的動點，求△PQR周長的最小值.

評析：△PQR周長即為PQ+PR+QR的長，三條線段之和最短，沒有一條線段的長度是固定的，而且這涉及到三個點，一個定點，兩個動點，要解決這一問題，可結合科學中光路最短原理，找出P關于OA、OB的對稱點P1和P2，然后連接P1、P2與OA、OB分別交于點Q、R，些時△PQR周長的周長最小，為線段P1P2的長，根據對稱性可知∠AOP=∠AOP1，∠POB=∠P2OB，由此∠P1OP2=90°，△P1OP2為等腰直角三角形，從而得△PQR的最小周長為

總結：當碰到一個定點兩個動點，能找到兩條對稱軸的且涉及到三線段之和最小時，我們可以作出定點關于這兩條對稱軸的對稱點（對稱軸為兩動點所在的直線），然后連接這兩個對稱點的線段為三線段之和的最短值.

例3 如圖8，矩形ABCD中，AB=20，BF=10，若AC、AB上各有一個動點M、N，求BM+MN的最小值.

圖8

評析：本題的解題思路是B為定點，所以首先得作出B關于AC的對稱點B′，即求折線B′M+MN的最小值很顯然B′、M、N三點在一條線段上且這條線段與AB垂直時的長度最小，所以作B′N′⊥AB，BM+MN的最小值為B′N′的長度，最小值為16.所以當碰到一個定點兩個動點，但不能找到兩條對稱軸的情況下，我們可以找定點的一個對稱點，然后向另一動點所在直線作垂直，該垂線段的長度即為要求的兩線段的最短距離.

圖9

例4 （2009年紹興中考題24題）：定義一種變換，平移拋物線F1得到拋物線F2，使F2經過F1的頂點A.設F2的對稱軸分別交F1，F2于點D，B，點C是A關于直線BD的對稱點.（3）若，點P是直線AC上的動點，求點P到點D的距離和直線AD的距離之和的最小值.

三、兩個定點兩個動點

圖10

例5 如圖10，平面直角坐標系，A，B兩點的坐標分別為A（2，-3），B（4，-1）若C（a，0），D（a+3，0）是x軸上的兩個動點，請找出點C，D的位置，使四邊形ABDC的周長最短.

評析：四邊形ABDC的周長為AB+BD+CD+AC，而AB和CD為定值，求周長最短實際就是求AC+BD最小，這里涉及到兩個動點兩個定點，而動點C一但確定，則另一動點D也隨之確定，因為它們的距離是3固定不變的，所以，我們

可以把CA沿C到D的方向平移3個單位長度到DA′處，這時就轉化為求BD+A′D的最小值，即兩個定點一個動點求最小值，如圖A″B為BD+A′D的最小值，從而求得C（1.25，0）D（4.25，0）.

如2010年天津市中考第25題：在平面直角坐標系中，矩形OACB的頂點O在坐標原點，頂點A、B分別在x軸、y軸的正半軸上，OA=3，OB=4，D為邊OB的中點.（1）若E為邊OA上的一個動點，當△CDE的周長最小時，求點E的坐標；（2）若E、F為邊OA上的兩個動點，且EF=2，當四邊形CDEF的周長最小時，求點E、F的坐標.此題的方法完全跟剛才所說的類似.（答案：（1）E（1，0）；

概括：兩個動點兩個定點：通過平移，使兩動點合二為一，轉化為一動點兩定點型解決.