數(shù)形結(jié)合思想在中學(xué)數(shù)學(xué)的應(yīng)用

☉湖北省武漢市旭光學(xué)校 張東林

一、數(shù)形結(jié)合思想的概述

數(shù)與形是數(shù)學(xué)中兩個(gè)最古老、最基本的元素，是數(shù)學(xué)大夏深處的兩塊基石.在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，常常根據(jù)數(shù)學(xué)問題的條件和結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系，將數(shù)的問題利用形來觀察，揭示其幾何意義；而形的問題也常借助數(shù)去思考，分析其代數(shù)含義，如此將數(shù)量關(guān)系和空間形式巧妙地結(jié)合起來，并充分利用這種“結(jié)合”，尋找解題思路，使問題得到解決的方法稱之為數(shù)形結(jié)合的思想方法.

數(shù)形結(jié)合是一個(gè)數(shù)學(xué)思想方法，包含“以形助數(shù)”和“以數(shù)輔形”兩個(gè)方面，其實(shí)質(zhì)是將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖像結(jié)合起來，關(guān)鍵是代數(shù)問題域圖形之間的相互轉(zhuǎn)化，它可以使代數(shù)問題幾何化，幾何問題代數(shù)化.下面結(jié)合具體實(shí)例談?wù)剶?shù)形結(jié)合思想在解題中的應(yīng)用.

二、以形助數(shù)

幾何圖形具有直觀易懂的特點(diǎn)，所以在談到“數(shù)形結(jié)合”時(shí)，更多的老師和學(xué)生更偏好于“以形助數(shù)”，利用幾何圖形解決代數(shù)問題，常常會(huì)產(chǎn)生“出奇制勝”的效果，使人愉悅.幾何直觀運(yùn)用于代數(shù)主要有以下幾個(gè)方面：

（1）利用幾何圖形幫助記憶代數(shù)公式，例如：

a）正方形的分割圖可以用來記憶完全平方公式；

b）將兩個(gè)全等的梯形拼成一個(gè)平行四邊形可以用來記憶梯形面積公式等.

（2）利用數(shù)軸或坐標(biāo)系將一些代數(shù)表達(dá)式賦予幾何意義，通過構(gòu)造幾何圖形，依靠直觀幫助解決代數(shù)問題，或者簡(jiǎn)化代數(shù)運(yùn)算.比如：

a）絕對(duì)值的幾何意義就是數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離；

b）數(shù)的大小關(guān)系就是數(shù)軸上點(diǎn)的左右關(guān)系，可以用數(shù)軸上的線段表示實(shí)數(shù)的取值范圍；

c）互為相反數(shù)在數(shù)軸上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱（更一般地：實(shí)數(shù)a與b在數(shù)軸上關(guān)于對(duì)稱，換句話說，數(shù)軸上實(shí)數(shù)a關(guān)于b的對(duì)稱點(diǎn)為2b-a）.

（3）利用函數(shù)圖像的特點(diǎn)把握函數(shù)的性質(zhì)：一次函數(shù)的斜率（傾斜程度）、截距，二次函數(shù)的對(duì)稱軸、開口、判別式、兩根之間的距離等.

（4）一元二次方程的根的幾何意義是二次函數(shù)圖像與x軸的交點(diǎn).

（5）函數(shù)解析式中常數(shù)項(xiàng)的幾何意義是函數(shù)圖像與y軸的交點(diǎn)（函數(shù)在x=0時(shí)有意義）.

（6）銳角三角函數(shù)的意義就是直角三角形中的線段比例.

圖1

即看做是坐標(biāo)系中一動(dòng)點(diǎn)（x，0）到兩點(diǎn)（0，2）和（2，1）的距離之和，于是本問題轉(zhuǎn)化為求最短距離問題.

令P（x，0）、A（0，2）和B（2，1），則y=PA+PB.

作B點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)B′（2，-1），則y的最小值為AB′=

圖2

分析：本例證法雖有很多，但若用幾何圖形面積去證，則更能看清問題的實(shí)質(zhì).

證明：利用a，b，m構(gòu)造矩形（如圖2）.S1=ma，S3=mb，因?yàn)閍

所以S1+S4

例3 已知：0

圖3

證明：如圖3，作邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD，在AB上取點(diǎn)E，使AE=a；在AD上取點(diǎn)G，使AG=b，過E，G分別作EF∥AD交CD于F；作GH∥AB交BC于H.設(shè)EF與GH交于點(diǎn)O，連 接 AO，BO，CO，DO，AC，BD.由題設(shè)及作圖知△AOG、△BOE、△COF、△DOG均為直角三角形，因此

小結(jié)：在求證條件不等式時(shí)，可根據(jù)題設(shè)條件作出對(duì)應(yīng)的圖形，然后運(yùn)用圖形的幾何性質(zhì)或者平面幾何的定理、公理去建立不等式使結(jié)論獲證.

分析：根據(jù)正切函數(shù)的意義不難構(gòu)造出滿足條件的角α、β（如圖4），怎樣構(gòu)造這兩個(gè)角的和是解決這個(gè)問題的關(guān)鍵.將圖4中下面的圖翻轉(zhuǎn)到上圖的下面，就形成了如圖5的圖形，角α+β也就構(gòu)成了.

證明：如圖5，連接BC，易證：△ABD≌△CBE，從而△ABC是等腰直角三角形，于是：α+β=45°.

圖4 圖5

三、以數(shù)解形

要在解題中有效地實(shí)現(xiàn)“數(shù)形結(jié)合”，最好能夠明確“數(shù)”與“形”常見的結(jié)合點(diǎn)，從“以數(shù)助形”角度來看，主要有以下兩個(gè)結(jié)合點(diǎn).

（1）利用數(shù)軸、坐標(biāo)系把幾何問題代數(shù)化（在高中我們還將學(xué)到用“向量”把幾何問題代數(shù)化）.

（2）利用面積、距離、角度等幾何量來解決幾何問題，例如：利用勾股定理證明直角、利用三角函數(shù)研究角的大小、利用線段比例證明相似等.

例5 如圖6，過正方形ABCD的頂點(diǎn)C任作一直線與AB、AD的延長(zhǎng)線分別交于E、F.求證：AE+AF≥4AB.

分析：這是“形”的問題，但要直接從“形”入手很棘手.引導(dǎo)學(xué)生將結(jié)論變?yōu)?/p>

圖6

從此式形式上看，聯(lián)想起一元二次方程根的判別式，從而把“形”的問題轉(zhuǎn)化成“數(shù)”的問題來解決.

證明：設(shè)AB=a，AE=m，AF=n.連接AC，則

所以mn=a（m+n）.設(shè)m+n=p，mn=ap.所以m，n是方程x2-px+ap=0的兩根，而m，n為實(shí)數(shù)，故△=p2-4ap≥0，又p>0，所以p≥4a，即AE+AF≥4AB.

例6 如圖7，在正△ABC的三邊AB，BC，CA上分別有點(diǎn)D，E，F(xiàn).若DE⊥BC，EF⊥AC，F(xiàn)D⊥AB同時(shí)成立，求點(diǎn)D在AB上的位置.

分析：先假設(shè)符合條件的點(diǎn)D，E，F(xiàn)已經(jīng)作出，再利用已知條件，尋找線段與角之間的數(shù)量關(guān)系，列出含有待求量的等式（方程），以求其解.

解：設(shè)AB=1，AD=x.

因?yàn)椤鰽BC為正三角形，且DE⊥BC，EF⊥AC，F(xiàn)D⊥AB，

故 AF=2x，CF=1-2x，CD=2CF=2-4x，BE=1-CE=4x-1，BD=2BE=8x-2.

而AD+BD=1，即x+（8x-2）=1.

小結(jié)：幾何中存在著這樣一類問題，即幾何圖形中的某些點(diǎn)的位置或線段的長(zhǎng)度或角度的大小不能依題意畫出來，只有根據(jù)已知條件求出某一些量時(shí)，圖形才能畫出.而求那些量的方法，常常是通過列方程（組），即轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程求解.

總之，數(shù)形結(jié)合思想是數(shù)學(xué)中基本而又重要的思想，是解決數(shù)學(xué)試題的一種常用方法與技巧，特別是在解決選擇、填空題中發(fā)揮著奇特功效.數(shù)學(xué)家華羅庚曾指出：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微；數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事非.”可見數(shù)形結(jié)合的思想可以使某些抽象的數(shù)學(xué)問題直觀化、生動(dòng)化，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學(xué)問題中的本質(zhì).在中考復(fù)習(xí)時(shí)，同學(xué)們必須隨時(shí)注意運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，復(fù)習(xí)中要以熟練技能、方法為目標(biāo)，加強(qiáng)這方面的訓(xùn)練，以提高解題能力和速度.

1.程曠主.巧學(xué)初中數(shù)學(xué)80法.農(nóng)村讀物出版社

2.九年義務(wù)教育初中數(shù)學(xué)課本.北京：人民教育出版社