對一道競賽試題的再探究

☉浙江省嘉興二十一世紀外國語學校 鄭棟棟

圖1

題 目：如圖1，在平行四邊形ABCD中，△ABE和△BCF都是等邊三角形.求證：△DEF是等邊三角形.（《全國初中數學競賽輔導》初二第12講）

本題將特殊三角形和特殊四邊形結合起來，將其設計成一道探索性較強、解法較多的競賽培訓題，然而試題預留了繼續探究的空間.本文將逐步探索以平行四邊形的四條邊向外（內）作特殊三

角形，所形成的圖形之間的面積關系.現由筆者整理如下.

一、向內作等邊三角形

為了敘述方便，先給出下列定義：①以平行四邊形的四條邊為邊分別向外（內）側作三角形，順次連接四個三角形的頂點（不包括平行四邊形的四個頂點）所得的四邊形稱為外（內）構四邊形；②所作的三角形稱為外（內）延三角形.

如圖2，若以平行四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA為邊分別向內側作等邊三角形，得到的頂點分別為E、F、G、H，順次連接這四個點，得內構四邊形EFGH.

探索1：易證△FBE≌△HDG，得FE=HG，同理可得FG=HE，即四邊形EFGH是平行四邊形.現探究內構四邊形與內延三角形的面積關系.為了便于表述，這里設AB=a，BC=b，∠ADC=α（0°＜α≤90°），下同.

（1）當0°＜α≤60°時，連接AF，AG.

因為AB=CG=a，BF=CF=b，

又因為∠FBA=∠FBC-∠ABC=60°-α，

∠FCG=∠BCD-∠FCB-∠GCD=60°-α，

所以△FBA≌△FCG，所以FA=FG.

同理△FBA≌△ADG，所以FA=AG.

所以△FAG是正三角形.

延長BA，過點F作FM⊥BA，垂足為M，則：

根據上面的探索和定義有下命題.

命題1：當內延三角形是等邊三角形時，內構四邊形的面積為所有內延三角形的面積與平行四邊形面積的兩倍之差的絕對值.

二、向外作等邊三角形

如圖3，以平行四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA為邊分別向外側作等邊三角形，得到的頂點分別為E、F、G、H，順次連接這四個點，得四邊形EFGH.

探索2：易證△EBF≌△GDH，得EF=GH，同理可得EH=GF，則四邊形EFGH是平行四邊形.現探究外構四邊形與外延三角形的面積關系.

圖3

（1）當0°＜α≤60°時，在平行四邊形ABCD中AB∥CD，∠BAD=180°-∠ADC=180°-α.

因為△HAD和△EAB是等邊三角形，

所以∠HAD=∠EAB=60°.

因為∠HAE=360°-∠HAD-∠EAB-∠BAD=60°+α，

∠ADG=∠CDG+∠ADC=60°+α，

所以∠HAE=∠ADG，所以△HAE≌△ADG.

同理可得△HDG≌△GCB.

命題2：當外延三角形是等邊三角形時，外構四邊形的面積為所有外延三角形的面積與平行四邊形面積的兩倍之和.

探索3：當外延三角形是等邊三角形時，由命題2可知：

三、向內作等腰直角三角形

如圖4，若以平行四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA為斜邊分別向內側作等腰直角三角形，直角頂點分別為E、F、G、H，順次連結這四個點，得內構四邊形EFGH.

探 索4： 易 證 △HAE≌△HDG，得HE=HG，同理可得HE=HG=FG=FE，即四邊形EFGH是菱形.而∠AHG+∠GHD=90°，則∠AHG+∠AHE=90°，則四邊形EFGH是正方形.

探索內構四邊形與內延三角形的面積關系.

（1）當0°＜α≤45°時，過點F作FM⊥BE，垂足為M.

因為∠FBE=∠FBC+∠ABE-∠ABC=90°-α，

于是綜上情況可得命題3.

命題3：當內延三角形是等腰直角三角形時，內構四邊形的面積為所有內延三角形的面積與平行四邊形面積之差.

四、向外作等腰直角三角形

如圖5，若以平行四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA為斜邊分別向外側作等腰直角三角形，直角頂點分別為E、F、G、H，順次連結這四個點，得外構四邊形EFGH.

探索5：易證△HAE≌△HDG，得HE=HG，同理可證四邊形EFGH是菱形.而∠AHG+∠DHG=90°，則∠AHG+∠AHE=90°，即四邊形EFGH是正方形.于是：

命題4：當外延三角形是等腰直角三角形時，外構四邊形的面積為所有外延三角形的面積與平行四邊形面積之和.

探索6：當外延三角形是等腰直角三角形時，由命題4可知