“形”中的最值

☉江蘇省姜堰市勵才實驗學校 仇錦華

說到初中數學中的“最值”（最大值或最小值），往往會讓人聯想到從“數”的角度去建立函數關系式，求函數的最大值或最小值.而有時從“形”的角度去研究最值則顯得更加直觀、簡潔.在幾何中與“最短”、“最長”相關聯的知識點有：“兩點之間線段最短”、“垂線段最短”、“三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊”等.

一、兩點之間線段最短

例1 如圖1，已知∠MON=90°，P、Q在兩直角邊上運動，且PQ=2，以PQ為邊在PQ上方作等邊△PAQ，求AO的最大值.

分析：A點是隨P、Q的運動而變化的.雖然OA是動的，但我們要善于在“動”中尋“靜”.因為PQ=2，即Rt△PQO的斜邊，等邊△APQ的邊長不變.故取PQ中點D，則

小試牛刀：

如圖2，菱形ABCD中，AB=2，∠ABC=60°，E為BC中點，P為BD上動點，求PE+PC的最小值.

提示：利用軸對稱將PE+PC轉化為PE+PA，因為PE+PA≥AE，所以最小值為AE的長.

二、垂線段最短

圖3

例 2 如圖3，Rt△ABC中，∠C=90°，P，Q在AC，BC上運動，且以PQ為直徑的圓與AB相切，求PQ的最小值.

分析：在Rt△PQC中，以PQ為直徑的圓必過C點，若將PQ看成是△PCQ的斜邊，△PCQ其余兩邊PC，CQ都是變化的，不能求出PQ的最小值，若將PQ看成是圓的直徑，則PQ長可以轉化為兩個半徑之和.

解：設PQ中點為O，⊙O與AB相切于點H，則OH⊥AB，OH=所以PQ=CO+OH，根據“兩點之間線段最短”，“垂線段最短”，可知當C，O，H共線且COH垂直于AB時CO+OH最短，即當CH=4.8時，PQ最小值為4.8.

提示：作N關于AD的軸對稱點H，當B、M、H在一條直線上且BMH垂直于AC時最短.

圖4

三、綜合運用

例3 已知拋物線y=-x2+2x+3交x軸于A，B與y軸交于C，頂點為N，C，D關于對稱軸對稱，直線AD交y軸于E，P為線段DE上一點，自P作PH⊥y軸于H，求PH+PN最小值.

分析：此題若從數上考慮最值，則需設P點坐標，用P點的橫坐標表示PH+PN，式子比較復雜，且含二次根號.若從形上考慮，則發現，A（-1，0），D（2，3），可知∠DAB=45°.若從A作直線AM⊥x軸，則P為∠MAB的角平分線上一點.PH+1=PG，所以PH+PN=PG+PN-1.

圖5

圖6

解：自A作直線AM⊥x軸，自P作PG⊥AB于G，易得A（-1，0），D（2，3），N（1，4）.

所以∠DAB=45°，所以PA平分∠MAB，所以PH+1=PG，所以PH+PN=PG+PN-1.

當N，P，G三點共線，且NG⊥x軸時PG+PN最小為4，所以PH+PN最小值為3.

小試牛刀：

如圖6，四邊形ABCD是正方形，△ABE是等邊三角形，M為對角線BD（不含B點）上任意一點，將BM繞點B逆時針旋轉60°得到BN，連接EN、AM、CM.

（1）求證：△AMB≌△ENB.

（2）①當M點在何處時，AM+CM的值最小；

②當M點在何處時，AM+BM+CM的值最小，并說明理由；