例談運用引申技術改編初中數學試題

◎江蘇省南通市北城中學 蔡新春

編制數學試題是初中數學教師的基本技能之一，獨立編制原創數學試題確實費心費力，難度較高，但是我們可以借助于一些成題將其適當改編成有新意的題目.

羅增儒教授早在2005年《中等數學》上談到用引申技術將成題改編為競賽試題.他說：“引申通常解釋為從舊義得出新義.競賽命題的引申技術就是從已知題目出發，沿縱橫兩個方向演繹深化得出新題目.”本文借助一些例題淺談如何用引申技術來改編初中數學試題.

一、不改變原題條件，在原題的結論的基礎上繼續向縱深研究，開發新題

圖1

例1 如圖1，等腰三角形ABC中，AB=AC，D、E分別是在AB、AC的中點，BE、CD相交于點O，求證：（1）OD=OE.（2）AO平分∠BAC.

這是在學習等腰三角形時，許多老師都會讓學生練習的一道題目.如果在此基礎上，我們聯想到三角形的中線可以將三角形分成面積相等的兩個三角形，再加上△ADO與△AEO全等，那么很容易得出△ADO、△AEO、△BDO、△CEO這四個三角形的面積相等，都是△ABC面積的因此，我們可以在原題的基礎上增加第（3）問：求△BOC與△ABC的面積比.

二、在原題的基礎上，再適當添加條件，將問題引向深入

圖2

例2 如圖2，△ABC中，AB=AC，點D在AB上，點E在AC的延長線上，且BD=CE，DE與BC相交于F點，求證：DF=EF.

這是一經典老題，過點D作AC的平行線DG交BC于點G，很容易證得△CEF≌△GDF，從而得到結論.

如圖3，過邊長為1的等邊△ABC的邊AB上一點P，作PE⊥AC于E，Q為BC延長線上一點，當PA＝CQ時，連PQ交AC邊于點D，則DE的長為（ ）.

而湖北武漢一地區則在這題的基礎上做了更深入的開發：已知△ABC是等邊三角形，點P是AC上一點，PE⊥BC于點E，交AB于點F，在CB的延長線上截取BD=PA，PD交AB于點I，PA=nPC.

（3）如圖6，若點P在AC邊的延長線上，且n=3，其他條件不變，

三、將原來題目中的某些條件從特殊轉化為一般，進行推廣開發新題

圖8

例3 如圖7，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，M是BC邊的中點，點P在線段BA上運動，同時點Q在線段AC上運動，且始終保持MQ⊥MP.試探求BP2、PQ2、CQ2三者之間的數量關系，并說明理由.

這是一道經典老題，做完后，我們進一步思考，當這個直角三角形不是等腰直角三角形而是一般直角三角形時（如圖8），這個結論是否成立呢？經過研究發現，這個結論是成立的.江蘇省揚州市就將按這個思路改編的題目作為2011年中考壓軸題的最后一問.

四、根據解題方法的相似，改變原題背景，重新編題

例4 如圖9，邊長為2的正方形ABCD的對角線交于點O，另有一邊長超過2的正方形的一個頂點在位于點O，并且繞點O作逆時針旋轉，那么旋轉過程中，兩個正方形重合部分的面積是否會發生變化？如果不變，請求出它的面積.

此題常用的一種解題方法是利用正方形的性質證明△AON與△BOM全等，從而得到四邊形BMON的面積等于△AOB的面積.將原題中的正方形換成等邊三角形后，解題的方法基本不變，因此可以改編成這樣的題目：如圖10，點O是等邊△ABC的角平分線的交點，MON是一個扇形（OM和ON足夠長）且∠MON=120°，OM、ON分別與AB、BC交于D、E兩點.如果△ABC的面積為S，將扇形MON繞點O旋轉時，扇形MON與△ABC重疊部分的面積是否會發生變化？如果不變，請求出它的面積.

同樣利用這種方法，我們可以將例1中等腰三角形換成正方形，改編這樣的新題：如圖11，E、F分別是正方形ABCD的邊BC、CD的中點，BF與DE相交于點O，求四邊形ABOD與正方形ABCD的面積比.