淺談數學解題中常見的思想方法

☉湖北省浠水縣實驗中學 饒金華

中考試題涉及眾多知識點，覆蓋面廣，關系復雜，證法靈活，解決這類考題需要考生能夠正確地綜合運用數學解題思想和方法，以下是中考中幾種常用的解題思想，供大家參考.

一、整體思想

注意力和著眼力放在問題的整體上，通過研究問題整體形式和整體結構，進而作出整體處理，達到順利解題的目的.

例1 如圖1所示，分別以n邊形的頂點為圓心，以單位1為半徑畫圓，則圖中陰影部分的面積之和為______個平方單位.

解：由條件可知圖中每個扇形的面積不能單獨求出，因為不知圓心角的度數.仔細分析可得n個扇形的圓心角恰為n邊形的n個因此，n個扇形的圓心角的度數和為n邊形的外角和.所以陰影部分的面積之和π.

二、化歸思想

化歸思想是一種由陌生向熟悉轉化，由未知向已知轉化，又非基本問題向基本問題轉化的解題策略.

例2 判斷下列數3555、4444、5333的大小關系是______.

分析：直接計算每個數顯然復雜難以比較，如果將它們化歸為異底數同次冪的形式，然后比較底數的大小即可解決問題.

解：3555=（35）111=243111，4444=（44）111=256111，5333=（53）111=125111.

即5333＜3555＜4444.

三、分類思想

分類討論是重要的數學思想，解答這類題不僅要求學生有扎實的基礎知識，還要求學生具有靈活運用數學思想方法的能力.在對數學對象進行分類中尋求解答的一種解題思想方法.其目的在于克服思維的片面性，防止漏解.

例3 如圖2，在直徑為50cm的圓中，弦AB=40cm，弦CD=48cm，且AB∥CD.求AB與CD間的距離.

分析：由圓的對稱性，可知兩條弦的位置會出現兩種情況.

圖2

圖3

解：作OE⊥AB，垂足為E，OE交CD于點F.

因為AB∥CD，所以OF⊥CD.

連接OA、OC.

（1）當AB和CD位于點O的同側時（圖2），AB與CD間的距離為：

（2）當AB和CD位于點O的異側時（圖3），AB與CD間的距離為：

所以AB與CD間的距離是8cm或22cm.

四、數形結合思想

數形結合思想是指將數（量）與（圖）形結合起來進行分析、研究、解決問題的一種思想策略.有關函數及其圖像的題目，多數用數形結合思想解答.

圖4

例4 如圖4，平面直角坐標系中，四邊形OABC為矩形，點A，B的坐標分別為（4，0），（4，3），動點M，N分別從O，B同時出發.以每秒1個單位的速度運動.其中，點M沿OA向終點A運動，點N沿BC向終點C運動.過點M作MP⊥OA，交AC于P，連接NP，已知動點運動了x秒.

（1）P點的坐標為（______，______）（用含x的代數式表示）.

（2）試求△NPC面積S的表達式，并求出面積S的最大值及相應的x值.

（3）當x為何值時，△NPC是一個等腰三角形？簡要說明理由.

解：（1）由題意可知C（0，3），M（x，0），N（4-x，3）.

（2）設△NPC的面積為S，在△NPC中，NC=4-x，NC邊上的高為，其中0≤x≤4.

（3）如圖5，延長MP交CB于Q，則有PQ⊥BC.

①若NP=CP.

③若CN=NP，則CN=4-x.

在Rt△PNQ中，PN2=NQ2+PQ2.

圖5

小結：數學思想方法還有很多，比如方程思想，它是指對所求數學問題通過列方程（組）求解的一種解題思想，是解幾何問題的重要策略.這類題目很常見，需要同學們去多觀察、多動腦、多實踐.