運用直尺巧妙解決數學問題

☉江蘇省鹽城市初級中學 王太廣

操作直尺（無刻度）解決數學問題，考查學生動手解決問題的能力，在充滿探索的過程中理解數學，從中感受數學創造的樂趣，增進學好數學的信心，形成應用意識，創新意識.本文就運用直尺巧妙解決數學問題，舉例說明.

一、平分平行四邊形的面積

例1 如圖1，已知平行四邊形ABCD，只用直尺你能把這個平行四邊形分成面積相等的兩個圖形嗎？

分析：考慮到平行四邊形的性質，平行四邊形是中心對稱圖形，對稱中心是四邊形的對角線的交點.

作法：利用直尺連接AC，BD交于點O.過點O任意作一條直線，則直線EF兩旁的圖形面積相等.

根據平行四邊形是中心對稱圖形易于證明直線兩旁的圖形面積相等.

二、找線段的中點

例2 在一次數學活動課上，小明提出：誰能幫我用沒有刻度的直尺找出線段AB的中點？小聰說：我能做到.你知道小聰是如何做的嗎？

這個問題有些困難，考查了學生的基本功和解決問題的能力.

作法：如圖2，用直尺任作一條直線

MN∥AB，在MN，AB的同一側任取一點P，連接AP，BP分別交直線MN于點C，D，再連接AD，BC，相交于點E，畫射線PE交線段AB于點O，點O就是線段AB的中點.

圖2

三、作角的平分線

例3 只用直尺，小明畫了∠BAC的平分線AD，你能知道小明如何畫的嗎？并證明其作法的正確性.

作法：如圖3，將直尺一邊與AB重合，在∠BAC的內部沿另一邊畫直線EF；再將直尺一邊與AC重合，在∠BAC內部沿另一邊畫直線MN，交EF于點G，過AG作射線AD，則射線AD就是∠BAC的平分線.

證明：作GP⊥AB，GQ⊥AC，垂足分別為P，Q，垂線段GP，GQ為直尺的寬度，所以GP=GQ，所以AD是∠BAC的平分線.

四、作圓的直徑

例4 只用沒有刻度的直尺，小明能作出已知圓的直徑，你知道小明是怎么做的嗎？并說明理由.

圖4

作法：如圖4，將直尺放在圓上，與圓交于點A，B，C，D四點，連接AD，BC交于點P，移動直尺，使直尺一邊與AB重合，另一邊與圓交于E，F點，（EF和CD分別在AB兩側）連接AF，BE交于點M，作直線PM交圓于G，H，則GH就是圓的直徑.

證明：由作法可知，CD∥AB∥EF，AB平分∠DAF和∠CBE，從而∠DAF=∠CDE，所以四邊形PAMB為菱形，PM垂直平分AB，根據垂徑定理易得GH是圓的直徑.

當然我們利用這種方法還可以找已知圓的圓心.

五、作垂線

例5 AB是已知圓的直徑，點P是圓所在平面內的任意一點，但P點不在直線AB上，也不在圓周上，你能否僅用直尺過點P作AB的垂線？

圖5

分析：要作直線，還一個點，此題沒有給出有關的圖，也沒有明確指明點P的位置，所以先要畫有關的圖，并就點P的位置進行分類討論.

（1）點P在圓的內部，如圖5，連接AP，BP并延長與已知圓分別交于D，E，連接

AE，BD分別延交于點C，作直線CP，則直線CP即為所求的垂線.

（2） 點P在圓的外部，有圖6，圖7兩種情形，作直線AP，BP與已知圓分別交于點D，E，作直線AE，BD交于點C，作直線CP，則直線CP即為所求的垂線.

圖6圖7

證明：（1）點P在圓的內部，如圖5，因為AB為⊙O的直徑，所以AD⊥BC，BE⊥AC，所以點P是△ABC的垂心.所以CP⊥AB.

（2）點P在圓的外部的兩種情況也可仿此法證明：一種情況如圖6，因為AB為⊙O的直徑，所以AE⊥PB，BD⊥PA.所以點C是△PAB的垂心.所以CP⊥AB.

另一種情況如圖7，點B是△PAC的垂心，所以CP⊥AB.