例談反比例函數的綜合應用

☉江蘇省常州市新北區實驗中學 倪 櫪

聰明、細心的同學會發現，在日常生活中存在著許多兩個量之間具有反比例關系的例子.學習數學的目的是“學以致用”，現從反比例函數與一次函數、不等式、簡單的幾何知識、相關物理知識的綜合應用這些方面舉例分析，供同學們參考.

一、數學學科內知識間的綜合應用

例1 如圖1所示，A為反比例函數圖像上的一點，AB垂直于x軸，垂足為B.若△AOB的面積為3，則反比例函數的解析式是什么？

分析：因為點A在反比例函數第二象限的圖像上，所以，由三角形面積公式可求得k，從而求出反比例函數解析式.

圖1

圖2

解：因為函數圖像分布在第二、四象限，所以k<0.

所以xy=－6=k.

例2 如圖2，已知A（－4，n），B（2，－4）是一次函數y=kx+b的圖像和反比例函數的圖像的兩個交點.

（1）求反比例函數和一次函數的解析式.

（2）求直線AB與x軸的交點C的坐標及△AOB的面積.

（請直接寫出答案）.

分析：由于B點在反比例函數圖像上，由反比例函數定義得m=－8，從而求出A點坐標，再用待定系數法求出一次函數解析式.根據數形結合的思想，求出△AOB的面積以及求方程的解和不等式的解集.

所以n=2.所以A（－4，2）.

因為y=kx+b經過A（－4，2），B（2，－4），

所以一次函數的解析式為：y=－x－2.

（2）因為C是直線AB與x軸的交點，

所以當y=0時，x=－2.

所以點C（－2，0）.

所以OC=2.

（3）x1=－4，x2=2.

（4）－42.

二、反比例函數與物理知識的綜合應用

例3 一人站在平放在濕地上的木板上，當人和木板對濕地的壓力一定時，隨著木板面積S（m2）的變化，人和木板對地面的壓強p（Pa）將如何變化？如果人和木板對濕地地面的壓力為600N，回答下列問題：

（1）用含S的代數式表示p，p是S的反比例函數嗎？為什么？

（2）當木板面積為0.2m2時，壓強是多少？

（3）如果要求壓強不超過6000Pa，木板面積至少要多大？

（4）畫出相應的函數圖像.

分析：根據兩個變量之間關系確定兩個變量之間的函數關系式，首先要判斷它屬于哪一類函數，然后根據實際意義并注意自變量的取值范圍，進而作出正確的函數的圖像.

解：隨著木板面積S（m2）變小（大），壓強p（Pa）將變大（小）.

圖3

（4）函數圖像如圖3所示.

例4 要求取消市場上使用桿秤的呼聲越來越高.原因在于，一些不法商販在賣貨時將秤砣挖空，或更換較小秤砣，使砣變輕，從而欺騙顧客.

（1）如圖4所示，對于同一物體，哪個用了較輕的秤砣？

（2）在稱同一物體時，秤砣到支點的距離y與所用秤砣質量x之間滿足_____________關系.

（3）當砣變輕時，稱得的物體變重，這正好符合哪個函數的哪些性質？

圖4

分析：設重物的質量為G（定值），重物的受力點到支點的距離為l（定值），圖4①、圖4②中y1、y2分別表示秤砣的受力點到支點的距離.根據杠桿原理得：物體的質量（G）與阻力臂（l）的乘積等于秤砣的受力點到支點的距離（y1或y2）與秤砣質量（x）的乘積.

解：（1）因為Gl為定值，xy=Gl，且y1>y2，所以x1

（2）因為xy=Gl，所以y與x滿足反比例函數關系.

（1）學生在調查中提出既希望能在課堂內對教材中的文化信息進行拓展講解，也希望能夠對照講解相關的中國文化知識，以應對英語四、六級考級的建議。筆者在課堂教學過程中，從教材文本入手，一面講授語言知識，鍛煉語言能力，一面深挖教材資源，補充必要文化知識講解和練習，活用教材。

三、反比例函數與生活知識的綜合應用

例5 水產公司有一種海產品共2 104千克，為尋求合適的銷售價格，進行了8天試銷，試銷情況如下表：

第1天第2天第3天第4天第5天第6天第7天第8天售價x(元/千克) 400 300 250 240 200 150 125 120銷售量y(元/千克) 30 40 48 50 60 80 96 100

觀察表中數據，發現可以用反比例函數刻畫這種海產品的每天銷售量y（千克）與銷售價格x（元/千克）之間的關系.現假定在這批海產品的銷售中，每天的銷售量y（千克）與銷售價格x（元/千克）之間都滿足這一關系.

（1）寫出這個反比例函數的解析式，并補全表格.

（2）在試銷8天后，公司決定將這種海產品的銷售價格定為150元/千克，并且每天都按這個價格銷售，那么余下的這些海產品預計再用多少天可以全部售出？

（3）在按（2）中定價繼續銷售15天后，公司發現剩余的這些海產品必須在不超過2天內全部售出，此時需要重新確定一個銷售價格，使后面兩天都按新的價格銷售，那么新確定的價格最高不超過每千克多少元才能完成銷售任務？

分析：反比例函數是日常生活和生產實踐中應用十分廣泛的數學模型，要能夠根據這個數學模型解決實際問題.

填表如下：

第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 第6天 第7天 第8天售價x(元/千克) 400 300 250 240 200 150 125 120銷售量y(元/千克) 30 40 48 50 60 80 96 100

（2）2 104-（30+40+48+50+60+80+96+100）=1600，

即8天試銷后，余下的海產品還有1600千克.

1600÷80 =20 ，所以余下的這些海產品預計再用20天可以全部售出.

（3）1600-80×15=400，400÷2=200.

即如果正好用2天售完，那么每天需要售出200千克.

所以新確定的價格最高不超過60元/千克才能完成銷售任務.

總之，學生要了解反比例函數是日常生活和生產實際中應用十分廣泛的數學模型，掌握生活中有一類兩變量的乘積為定值的實際問題可轉化為反比例函數問題來解決的思想方法，從而不斷提高自己運用數學方法分析、解決實際問題的能力.