滾珠型弧面凸輪分度機構動力學模型建立及模態分析

李 蕾，馮顯英，張成梁，牟世剛，王綏遠

弧面分度凸輪機構的結構比較簡單，能夠實現多種運動規律，被廣泛用于印刷、包裝、食品等機械。當機構轉速較低以及機構零件剛性足夠大時，對機構進行運動學與靜力學分析就能滿足基本要求。但隨著工業自動化的發展，對于高速機構，其動力學特性成為提高速度的主要制約，因此需要進行動力學分析。當前對弧面凸輪機構的研究較多地集中在弧面凸輪的幾何特性分析［1－2］、建模仿真［3－4］以及加工方法上［5－6］，對弧面凸輪機構動力學的研究相對較少。天津大學［7－8］對圓柱滾子弧面凸輪機構做了比較深入的研究，但對于滾珠型弧面凸輪機構動力學［9］研究得非常少。本文對一種新型滾珠型弧面凸輪分度機構中的接觸剛度進行了分析，并且在建模過程中分析了廣義坐標微小位移間的幾何關系，建立了考慮彈性扭轉模量的動力學方程。

1 滾珠型弧面凸輪分度機構結構介紹

如圖1所示，滾珠型弧面凸輪分度機構主動件是弧面凸輪，弧面凸輪滾道為雙圓弧截形，從動件是分度盤，分度盤由三個零件組合而成(如圖2所示)。在此機構運動過程中，滾珠作為媒介傳遞力和運動，滾珠與凸輪為一點接觸，滾子與分度盤為兩點接觸。

圖1 滾珠型弧面凸輪分度機構Fig.1 Globoidal cam indexing mechanism with steel ball

圖2 分度盤Fig.2 Indexing plate

2 等效接觸剛度分析

2.1 Hertz接觸理論

根據赫茲理論，兩個彈性體之間的壓力分布呈半橢圓形，接觸面在切面上將有一個橢圓邊界［11］。橢圓邊界短軸b的方程式為:

式中:n為接觸橢圓常數，通過求得θ角度的值，然后查接觸橢圓常數表求得。θ方程為:

式中:

式中:P為接觸面上相互作用的正壓力，ρ1，ρ2為接觸點的最小曲率半徑，ρ1'，ρ2'為最大曲率半徑，μ1，μ2為兩種材料的泊松比，E1，E2為兩種材料的彈性模量，ψ為最大曲率所在平面間的夾角。

滾珠的壓縮深度為:

與滾珠接觸零件的壓縮深度為:

2.2 滾珠與凸輪之間的Hertz接觸剛度

圖3 滾珠與凸輪之間的變形剛度變化曲線Fig.3 Contact stiffness between roller and globoidal cam

滾珠與凸輪之間的Hertz接觸剛度即變形剛度與接觸曲率有密切的關系，凸輪的接觸曲率在分度段隨著凸輪轉角的變化而變化，因此變形剛度也是在不斷變化的。分別求出滾珠和凸輪接觸點上的壓縮深度h1，h2，得到滾珠與凸輪之間的變形剛度為 k1c=本文中凸輪與滾珠的材料相同，彈性模量和泊松比分別取值為210 GPa和0.28，凸輪運動曲線為修正正弦曲線。得到了圖3所示的滾珠和凸輪之間的變形剛度變化曲線。

2.3 滾珠與分度盤之間的Hertz接觸剛度

滾珠與分度盤上有兩個接觸點，其中分度盤中間圓盤上的接觸點為主要受力點。因此本文中將滾珠與分度盤中間圓盤上接觸點的變形剛度作為滾珠與分度盤之間的變形剛度計算。滾珠的最大曲率和最小曲率相等，為滾珠半徑的倒數;分度盤的最大曲率為分度盤中間圓盤凹槽圓弧半徑的倒數，最小曲率為零。分別求出滾珠和分度盤接觸點的壓縮深度h1'、h2'，得到滾珠與分度盤之間的變形剛度為滾珠的半徑為14 mm，凹槽圓弧半徑為15 mm，得到滾珠與分度盤之間的變形剛度為1.578×108N·m/rad。

在無潤滑情況下，滾珠與凸輪以及分度盤之間的摩擦為干摩擦，接觸剛度為變形剛度，當在接觸副中存在潤滑時，接觸剛度由變形剛度和油膜剛度組成。根據文獻［12］中的接觸中心區的油膜厚度得到了滾珠與凸輪間的油膜剛度k1f以及滾珠與分度盤之間的油膜剛度k2f。滾珠與凸輪之間的接觸剛度k1可以認為是變形剛度和油膜剛度的串聯，同樣滾珠與分度盤之間的接觸剛度k2也為變形剛度和油膜剛度的串聯。

2.4 等效接觸剛度

在動力學建模中，由于滾珠相對凸輪和分度盤質量較小，可以忽略。如圖4所示滾珠與凸輪之間的接觸剛度以及滾珠與分度盤之間的接觸剛度可以近似看作串聯［10］。串聯后的剛度為:

圖4 接觸副間的等效接觸剛度Fig.4 Equivalent contact stiffness for contact pair

由已得到的滾珠與凸輪之間的接觸剛度和滾珠與分度盤之間的接觸剛度，代入式(10)得到等效接觸剛度如圖5所示。

圖5 等效接觸剛度隨凸輪轉角的變化曲線Fig.5 Variation curve for equivalent contact stiffness

3 動力學方程的建立

3.1 動力學模型與符號說明

弧面凸輪機構中的扭轉是傳遞運動的主要方式，本文假定滾珠與凸輪以及分度盤之間可實現無間隙嚙合運動，阻尼很小可以忽略，主要考慮機構的扭轉彈性模量，建立了弧面凸輪機構的動力學模型。圖6為弧面凸輪分度機構動力學模型簡圖。

圖6 弧面凸輪分度機構力學模型簡圖Fig.6 Dynamic model for globoidal cam indexing mechanism

模型中，J1為載荷盤的轉動慣量，J2為分度盤的轉動慣量，J3為弧面凸輪的轉動慣量，φ為凸輪軸理論轉角，τ(φ)為分度盤理論轉角，φ1為載荷盤轉角，φ2為分度盤轉角，φ3為弧面凸輪轉角，kφ1為輸出軸的扭轉剛度，kφ3為輸入軸的扭轉剛度，kec為等效接觸剛度。

3.2 廣義坐標幾何位移關系分析

凸輪、滾珠以及分度盤之間的位置是一種空間的相對位置關系，比較復雜，如圖7所示。本文采用了回轉變換張量法將凸輪及分度盤的微小角位移轉化到接觸點的法線方向上。圖中K1點為滾珠與分度盤的接觸點，K2點為滾珠與凸輪之間的接觸點。由于兩接觸點的法線方向不在同一條直線上，根據受力情況，本文統一把微小角位移轉化在K2點法線方向上。符號rk1表示K1點到分度盤中心的半徑，lf表示分度盤半徑，c表示中心距，θ1表示分度盤轉角，γ表示螺旋升角。

微小角位移δ(φ2)，轉化到Y1＇軸上的位移近似為rk1×δ(φ2)，轉化到K2點法線方向上的微小位移為:

微小角位移δ(φ3)，在Z軸方向上的位移近似為(c－lfcosθ1)δ(φ3)，轉化到 K2點法線方向上的微小位移為:

因此總位移為 δ=δk1－δk2。

圖7 弧面凸輪機構零件的相對位置及運動變換關系Fig.7 Relative position and relationship of motion conversion for components of globoidal cam indexing mechanism

3.3 動力學方程的建立

拉格朗日方程是從能量的角度求得動力學方程，本文應用拉格朗日方程推導凸輪傳動系統的動力學方程如下:

弧面凸輪機構系統的動能:

弧面凸輪機構系統的勢能:

應用拉格朗日方程得到弧面凸輪機構的動力學方程如下:

因為機構組成的各零部件有幾何加工誤差和裝配誤差，滾珠和凸輪之間很可能存在間隙。假定在滾珠與凸輪作用點 K2法線方向上有間隙 ξ時，根據Dubowsky沖擊間隙模型，得到接觸剛度系數為:

4 固有頻率及振型的計算

由動力學方程組(16)求得了系統的固有頻率及其相對應的陣型。系統的剛度矩陣在分度段時隨著凸輪轉角的變化而改變，因此系統的固有頻率是不斷變化的，在分度段時期固有頻率對應陣型也是在變化的。為了方便，這里求得了停歇期固有頻率對應的陣型。剛度矩陣為:

凸輪轉角在0°～120°為分度期，圖8為固有頻率變化曲線圖，可以看到分度期間的固有頻率是變化的，停歇期間的固有頻率是恒定值，不同階固有頻率的變化曲線趨勢并不相同，其中由圖8(a)可以看到第一階頻率在分度期中間位置的頻率為最低。外界激勵頻率應避開固有頻率，以免引起共振。圖9為機構停歇期間固有頻率對應的振型圖，圖中的橫坐標1，2和3分別代表凸輪傳動系統中的廣義坐標φ1，φ2和φ3，字符代表意義同上。圖9(a)第一階振型表現為載荷盤的扭振，圖9(b)第二階振型表現為分度盤和凸輪都有扭振，且凸輪的扭振程度大于分度盤。表1是求解過程中用到的部分參數。

表1 部分計算參數Tab.1 Partial calculation parameters

5 結論

本文對一種新型滾珠型弧面凸輪分度機構進行了動力學建模。首先分析了在有潤滑和無潤滑情況下滾珠與凸輪以及滾珠與分度盤之間的接觸剛度，由于滾珠質量較小，忽略滾珠的質量得到了等效接觸剛度。在建模過程中，根據機構中各零件的相對位置及運動關系，用回轉變換張量法分析了廣義坐標微小位移的幾何關系。考慮機構的扭轉彈性模量建立了動力學方程，得到了機構的固有頻率和停歇期間固有頻率對應的振型。通過固有頻率變化曲線可以看到分度期間的固有頻率是變化的，停歇期間的固有頻率是恒定值，不同階的固有頻率變化趨勢也不相同。外界激勵頻率應盡量避免與固有頻率相同，以免引起共振。

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