船舶推進軸系縱振動力吸振器設計及參數影響規律研究

楊志榮，秦春云，饒柱石，塔 娜

螺旋槳推進是船舶和水下航行器的主要推進方式。船舶在水中運動，不可避免地在艉部形成不均勻的伴流場;螺旋槳在不均勻伴流場中工作會產生脈動推力，經推進軸系、推力軸承及其基座傳遞到殼體，引起殼體產生振動，進而形成水下聲輻射［1－2］。在減小軸系縱向振動的一系列措施［3］中，加裝動力吸振器是有效且可行的方法。

Goodwin［4］首先分析使用共振改變器(Resonance Changer)控制螺旋槳軸承力對船體激勵的可行性。澳大利亞學者Dylejko［5］基于四端參數法和傳遞功率流研究了安裝軸系共振改變器(Resonance Changer)的降噪效果，其共振改變器串聯安裝在推力軸承與基座之間，并進一步研究了共振改變器的參數優化設計問題。劉耀宗［2］的研究建立在Dylejko的基礎上，并以Dylejko的算例參數為對象，分析了動力吸振器的吸振效果，但未涉及到動力吸振器的實際布置方案。李良偉［6］在Goodwin的船舶軸系縱向振動模型上進行簡化，對軸系采用集中質量和彈簧剛度進行等效替換，運用動力諧調消振理論，對兩自由度集中質量主從系統的動力減振器進行參數優化設計，但未能考慮到實際情況下軸系是彈性連續體，同時未能涉及到動力減振器的結構形式及安裝布置方案。

由于實際工作情況下往往希望既要實現對船舶軸系的減振同時又要求對軸系的結構改動最小，本文提出一種并聯安裝在船舶軸系上的動力吸振器的設計方法，其中船舶軸系與動力吸振器構成主從系統，實現振動能量在主系統上發生轉移，實現抑制主系統共振的目的;考慮了船舶軸系作為彈性連續體的情況下，采用模態截取和模態綜合法建立其軸系－動力吸振器混合動力學系統模型，對動力吸振器設計參數的影響規律進行分析。

1 船舶軸系－動力吸振器混合動力學建模

如圖1所示，動力吸振器在船舶軸系中的安裝布置，其中船舶軸系主要由螺旋槳、槳軸、中間軸、法蘭、推力軸、推力軸承及其基座組成，這里將螺旋槳及其附連水簡化為集中質量M，推進軸等效為一根具有分布質量和彈性的勻質軸，推力軸承和基座的縱向總剛度用等效線性彈簧剛度K代替，動力吸振器簡化為質量為ma，縱向剛度為ka，阻尼為ca的質量彈簧阻尼系統，簡化后的船舶軸系－動力吸振器混合動力學模型如圖2所示。

1.1 船舶軸系縱向振動固有頻率及模態分析

由圖2可知，當未安裝動力吸振器時其船舶軸系的縱向振動響應解為［7］:

為各階振型函數，

由式(2)可得:

由式(3)可得:

將式(4)代入式(5)得:

由式(6)求解出各階固有頻率后，再代入到式(1)中的振型函數Xn(x)表達式就可求得各階振函數的精確解。

這里取各計算參數為:軸材料密度:ρ=7 850 kg/m3，軸材料彈性模量:E=1.96×1011Pa，軸系長度 l=13.5 m，軸外徑 D=0.29 m，軸內徑 d=0.165 m，螺旋槳及附連水質量M=7 760 kg，推力軸承及基座縱向總剛度K=1×1010N/m。根據式(6)的固有頻率方程在MATLAB中進行編程求解，求得的各階固有頻率的解析解如表1所示。

為了驗證理論推導的準確性，在有限元軟件ANSYS中，采用BEAM188/MASS21/CONBIN14等單元建立其相應參數的船舶軸系有限元模型，計算出船舶軸系縱向振動前6階固有頻率值與由MATLAB編程求解式(6)固有頻率方程的解，兩者的比較如表1所示;由表1可知，兩者的求解結果基本一致，特別是在前四階中低頻段吻合得較好，在高頻段誤差在3%以內，這是由于式(6)為超越方程，采用迭代方法求根，在高頻段求解精度有影響，同時ANSYS中由于單元網格劃分數的限制，其數值解本身的精度也受到影響。由此可以驗證本文推導的船舶軸系縱向振動的固有頻率方程及振型函數求解是正確的。

表1 前6階固有頻率解析解與ANSYS數值解結果比較(單位:Hz)Tab.1 The calculation of nature frequencies by analytic method and FEM

振型函數的正交性［7］:

各階主質量:

各階主剛度:

各階固有頻率:

1.2 模態截取及模態綜合

彈性連續體的模態截取主要根據與激勵頻率相近的彈性體模態振型為主要振型，一般截取1階主振型與動力吸振器子結構進行模態綜合都能較好地給出動力吸振的近似解［8］。一般情況下船舶軸系正常工作轉速為50～400 r/min之間，假定螺旋槳的槳葉為7葉，其螺旋槳脈動推力激勵頻率主要為葉頻，范圍為6～47 Hz之間，主要激起船舶軸系的第一階模態，因此，這里截取船舶軸系的第一階模態振型函數與動力吸振器進行模態綜合，構建船舶軸系－動力吸振器混合動力學模型。

安裝動力吸振器后的力學模型表示于圖2。動力吸振器的安裝部位在x=a點，船舶軸系在螺旋槳處(x=0)承受的縱向集中力為 F0eiωt，是頻率為ω的簡諧力。耦合動力吸振器后全系統的動能和彈性勢能分別為T和U，其解析式為:

由拉格朗日方程推導出全系統的運動方程，將其寫成矩陣形式:

式中:ε表示作用在螺旋槳處(x=0)縱向集中力強度的常數，其大小為:

由式(15)可知，對于均質直彈性軸而言，如果只考慮它的第一階主振型，那么，它的動力吸振問題就相當于主質量為m1的單自由度振動系統受到集中力εeiωt激勵時的動力吸振問題。

將式(15)拉氏變換后，用iω代替s，可以導出廣義坐標 Y(t)對廣義力 εeiωt的傳遞函數 R(ω):

定義以下的無量綱參數［8］:

式中:g為頻率比，f為固有頻率比，μ為質量比，ξ為阻尼比。由此可以寫出船舶軸系任意截面第一振型的振幅的近似解析式:

進一步可以求得傳遞到推力軸承基座上的力與激勵力之間的力傳遞率(動力放大系數):

由式(20)可知，動力放大系數 A(g，f，μ，ξ，a)是頻率比g，固有頻率比f，質量比μ，阻尼比ξ，動力吸振器安裝位置a的函數。

2 動力吸振器設計參數影響規律分析

2.1 質量比μ對動力放大系數的影響

取動力吸振器在軸上的安裝位置a=2 m，固有頻率比 f=1，阻尼比 ξ=0.1，討論質量比 μ =0.01，0.05，0.1，0.2這4組取值時對動力放大系數的影響。相應的動力放大系數A(g)曲線如圖3所示。由圖可知，隨著質量比的增大，在吸振頻率附近兩個共振峰向相反方向偏移，使得動力吸振器的吸振頻帶變寬，且在吸振頻率附近傳遞到基座上的縱振激振力進一步降低，吸振效果越好。實際設計動力吸振器的質量時要綜合考慮動力吸振器重力對軸系彎曲應力的影響，一般情況下取質量比 μ=0.03～0.05即可。

2.2 固有頻率比f對動力放大系數的影響

取動力吸振器在軸上的安裝位置a=2 m，質量比μ =0.05，阻尼比 ξ=0.1，討論固有頻率比 f=0.6，0.8，1，1.2這4組取值時對動力放大系數的影響。相應的動力放大系數A(g)曲線如圖4所示。由圖可知，在這組數據中，動力吸振器的固有頻率比取f=1時，吸振效果最好。且隨著固有頻率比在f=1附近變化時，在吸振頻率處的動力放大系數急劇變化，因此，必然在f=1附近存在一個最優固有頻率比使得動力吸振器在吸振頻率附近效果最好，吸振頻帶最寬。

圖3 質量比對動力放大系數的影響Fig.3 The effect of dynamic amplification by mass ratio

圖4 固有頻率比對動力放大系數的影響Fig.4 The effect of dynamic amplification by nature frequency ratio

圖5 阻尼比對動力放大系數的影響Fig.5 The effect of dynamic amplification by damp ratio

2.3 阻尼比ξ對動力放大系數的影響

取動力吸振器在軸上的安裝位置a=2 m，質量比μ =0.05，固有頻率比 f=1，討論阻尼比 ξ=0.01，0.05，0.1，1這4組取值時對動力放大系數的影響。相應的動力放大系數A(g)曲線如圖5所示。由圖可知，在阻尼比ξ=0.01時，由螺旋槳傳遞到基座上的縱振激振力得到較大降低，但在吸振頻率兩側出現個較大的峰值，這將影響結構整個頻段力傳遞率的降低效果;隨著阻尼比的增加，曲線變得圓滑，分布在吸振頻率兩側的共振峰幅值有較大程度的降低，吸振頻帶變寬，但是在共振吸振頻率處效果變差，因此頻寬的增加是以犧牲共振吸振頻率處的吸振效果為代價的，存在一個兼顧雙方的最優阻尼比。當阻尼比為大阻尼時，在共振吸振頻率附近，沒有吸振效果，相當于動力吸振器與軸系固連在一起又變成單自由度系統。

2.4 動力吸振器安裝位置對動力放大系數的影響

取動力吸振器的固有頻率比 f=1，質量比 μ=0.05，阻尼比ξ=0.05，討論動力吸振器在軸上的不同安裝位置對動力放大系數的影響。圖6為動力吸振器在不同安裝位置下的動力放大系數的三維圖。由圖可知，吸振器的安裝位置對軸系的縱向振動特性有較大的影響，通常應將動力吸振器安裝在被減振結構振幅最大處，由上述軸系縱振模態分析可知，在軸系縱振第一階共振頻率時，靠近螺旋槳端的振動響應幅值最大，推力軸承端振動響應幅值最小。因此，為了使吸振器達到最好的吸振效果，消減軸系第一階縱向振動時應該把吸振器盡量布置在軸系艉端。

圖6 不同安裝位置對動力放大系數的影響Fig.6 The effect of dynamic amplification by different installation location

3 結論

本文提出一種并聯安裝在船舶推進軸系上的縱振動力吸振器的設計方法，采用模態截取和模態綜合法建立其軸系－動力吸振器混合動力學系統模型，對動力吸振器設計參數的影響規律進行分析。主要結論如下:

(1)特殊邊界條件下，軸系縱振的振型函數的正交性、主質量和主剛度具有和常規邊界條件下的軸系縱振振型函數不同的表達式;

(2)彈性連續體的模態截取主要根據與激勵頻率相近的彈性體模態振型為主要振型。對于軸系的正常工作轉速范圍內，一般取軸系縱振第一階模態振型進行綜合，都能給出動力吸振較好的近似解;

(3)質量比取得越大，吸振效果越好，但應該綜合考慮到吸振器重量對軸系彎曲應力的影響;

(4)固有頻率比對吸振效果影響很大，在固有頻率比等于1的附近存在著最優的固有頻率比使得吸振效果和吸振帶寬達到最優;

(5)阻尼比越小，在共振吸振頻率處吸振效果越好，但是在吸振頻率兩側出現個較大的峰值，頻帶變窄;大阻尼比下，在共振吸振頻率處沒有吸振效果;

(6)為了使吸振器達到最好的吸振效果，消減軸系第一階縱向振動時應該把吸振器盡量布置在軸系艉端，即被減振結構振幅最大處。

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