學生頭腦中的已知與未知

【摘 要】用已知求未知是數學解題的常見思路。對于雞兔同籠問題，教師往往采用較為固定的假設形式引導學生根據已知求解，而不少學生卻使用在教師看來是從未知到已知的“湊數法”。實質上該方法遵循假設的思路，符合學生的思維發展特點。教師應挖掘解題方法的實質，找到學生解題的合理性，對學生進行有效評價和指導。

【關 鍵 詞】雞兔同籠；假設法；教師評價

中圖分類號：G42 文獻標識碼：A 文章編號：1005-5843（2012）02-0156-02

在一節小學三年級數學課上，老師正在講雞兔同籠問題。她先向學生出示了題目：籠子里有一些雞和兔，每只雞有2條腿，每只兔有4條腿，它們一共有8個頭、26條腿，問這個籠子里雞、兔各多少只？

一名學生很快舉起手，老師就讓他把計算過程寫在黑板上。學生的列式為：5×4=20（條），3×2=6（條），20+6=26（條），并解釋道：“5只兔一共有20條腿，3只雞一共6條腿，那么雞和兔一共26條腿，所以有5只兔，3只雞。”

老師停頓了片刻，對學生說：“用未知求已知合理嗎？”學生一臉茫然，沒有吱聲。老師只好自己回答：“這樣不合理，下面我們就一起研究怎么做這道題。”接著就開始在黑板上畫表格，希望學生用列表法來解題。這名學生的計算為什么會被老師貼上“不合理”的標簽呢？老師的看法是否就非常合理呢？以下從幾個方面進行分析。

一、學生解題思路的實質——假設法

從題目本身來看，教師往往認為“8個頭、26條腿”是已知條件，而雞、兔的只數未知。在解題時一定要遵循用上個題目中的已知條件，通過列式求出未知量的普遍思路。因此，在教師看來，學生列式中所出現的“5”和“3”純屬無中生有硬造出來的量，自然不合理。然而，學生卻未必如此理解。通過分析這個班所有學生的解答過程，發現62％的學生都采用了類似的方法，因而有必要思考學生如此作答的原因及這種思路的實質。

學生從題中能夠讀出：雞和兔共有8個頭、26條腿，但它們各自的只數未知。為解決問題，學生也許會這樣想：如果確定了雞和兔其中一種的只數，另一種的只數也就確定了。于是假設如果有5只兔，那么就有3只雞。5只兔有5×4=20（條）腿，3只雞有3×2=6（條）腿，一共有20+6=26（條）腿，剛好和已知條件“雞和兔共有26條腿”相一致。所以假設成立，即有3只雞、5只兔。當然，也有一部分學生沒那么“幸運”，假設的雞或兔的只數與上述假設不同，求得的雞和兔的總腿數不是26條。

通過對學生追問還發現，學生并不認為假設的“5只兔”是未知量。有學生這樣說：“我認為有5只兔，那就是有5只兔”，顯然他已把兔的只數看成已知量了。既然有5只兔，那么就有3只雞。接下來，雞兔的腿數可求，總腿數也可求。最后將求得的腿數與已知的總腿數進行對比、檢驗就可以了。

這樣就不難理解了，學生解題思路實質上是運用了假設法。他們將自己假設的雞、兔的只數當作了已知量，將雞和兔的總腿數當作未知量來計算。而案例中的教師沒有充分理解學生這種解題思路的實質，也就沒有看出它和接下來要講授的列表法、畫圖法之間的關系，所以就將這種解答方法納入“不合理”的范圍了。

二、用未知求已知的合理性

在雞兔同籠問題的教學中，教師大多使用列表法、畫圖法進行講解，以求清晰直觀地呈現出假設的步驟，使學生初步理解運用假設法的優點。此外，這類問題還可以設未知數，列方程解答。那么，學生的列式中顯現的假設思路與這些常見解題思路之間有什么關系？這種用未知求已知的思路是否具有合理性？以下分兩方面進行闡述。

（一）從假設法的角度理解

教師在使用列表法、畫圖法講解時，絕對不能丟掉的詞就是“假設”或“如果”。這說明表格和示意圖是用來體現假設思路的形式，假設則是解題思路的實質。顯然，不能只注重對形式的認同而忽略對實質的深層挖掘和理解。

教師用列表法先假設8個頭全是兔，發現總腿數比實際多，逐步減少兔的只數，增加雞的只數，直到假設全部是雞為止，分別求出相應的總腿數，找到滿足已知條件的答案（具體列表過程略）。

可見，在這里列表法是以假設法為前提的。在雞、兔只數逐漸增加與減少的分析過程中，可以培養學生有序思考的能力，這種有序推理為學生從具體形象思維到抽象邏輯思維打下一定基礎。同時，列表法也體現了從未知到已知的過程，即通過假設，把未知（雞兔只數）當作已知，推理總腿數直至符合題意（共26條腿），再確定未知（對應的雞兔只數），得到正確答案。這種算術法借助假設增加輔助信息，逆向解決了問題。[1]

畫圖法也是在假設的基礎上進行的。教師先畫8只兔，說明她假設籠中全是兔（每只身上4條腿）。與列表法相似，由于總腿數比實際多，所以要逐漸減少兔的只數增加雞的只數（即每只兔減少2條腿），直到總腿數與已知條件相符，則答案確定。（示意圖略）

列表法與畫圖法方法雖然形式不同，但本質都是假設法，這與學生直接假設5只兔3只雞沒有本質差別。解答時運用假設增加輔助信息，實質是通過把未知當作已知推理符合題意的數量關系再求得未知的過程，是從未知到已知的過程。

（二）從方程的角度理解

方程思想是重要的數學思想，它的核心體現在建模思想和化歸思想。其中建模思想的本質就是用等號將相互等價的兩件事情聯立。[2]本題使用方程法解通常分以下步驟：先設一個或兩個未知數，根據已知建立等量關系式（列方程），再利用等式性質（方程的同解原理）通過變形求出符號代表的數值（解方程）。（參見表1方程法一、二過程）。它將生活中的問題用數學模型表達，體現了高度的抽象性。對比學生的解答不難看出，學生假設的5只兔對應方程法中的x，3只雞對應（8-x）或者y，推理總腿數對應方程同解變形（參見第三步），這說明學生已經在形式上體現了方程方法的蹤跡。

在內容上，學生解答中的26與方程法中的26表達的含義不同。學生寫的26是在假設的前提下求得的總腿數，如果假設的數據不同結果可能不同，方程法中的26是已知條件不會隨意改變。可見，學生用的僅是計算的一種方法，還沒有真正體現代數方法中用等號連接等價事物的建模思想。當然，從算術法到代數法還要經過很長的學習過程，如此解答是符合學生認知規律的。

方程是為了尋求未知數，在未知數和已知數之間建立起來的等式關系。[3]這種等量關系的建立是通過設未知數把未知當作已知來表達的，再通過解方程求得未知。所以，從未知到已知的探究問題具有一定的合理性。

三、教師指導的針對性

教師在進行評價時，不能只簡單地判斷對與錯，要發現學生言語背后所表達的意思，找到它的合理性，再進行引導與提升。案例中老師希望要傳授的列表法、畫圖法和方程法與學生“湊數”的方法本質是一致的。教師如果認識到這一點，完全可以由學生的論述深入挖掘，引出不同形式表達同樣的數學方法之一核心。還可以進一步進行對比，找到各種方式的優缺點引發一個擇優的過程等等。只有充分理解學生的想法，并輔以針對性的評價與指導，學生才能體會到數學內在的、深刻的美，才會真正樂學、愛學。

參考文獻：

[1]曾小平，劉長紅.談談算術與代數的本質與區別——兼答“算術法和方程法那個重要”[J].小學教學，2011(11).

[2]史寧中，孔凡哲.方程思想及其課程教學設計——數學教育熱點問題系列訪談錄之一[J].課程教材教法，2004(9).

[3]張奠宙，孔凡哲等.小學數學研究[M].北京:高等教育出版社，2009(1):111.