談高考中向量運(yùn)用的技巧

向量是近代數(shù)學(xué)中重要和基本的數(shù)學(xué)概念之一，它是溝通代數(shù)、幾何與三角函數(shù)的一種工具，同時(shí)又是數(shù)形結(jié)合思想運(yùn)用的典范。向量作為代數(shù)對(duì)象，它可以運(yùn)算；作為幾何對(duì)象，它有方向，可以刻畫直線、平面、切線等幾何對(duì)象；它有長(zhǎng)度，可以刻畫距離、面積、體積等幾何度量問題。正是由于向量既具有幾何形式又具有代數(shù)形式的“雙重身份”，所以使它成為中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的一個(gè)交匯點(diǎn)，成為聯(lián)系多項(xiàng)內(nèi)容的橋梁和紐帶。因此，在歷年全國各個(gè)省市的高考中都是一個(gè)必考點(diǎn)。在高考中，它不但可以單獨(dú)成題，著重考查向量本身的基礎(chǔ)知識(shí)和方法；且常與其他知識(shí)（如平面幾何、解析幾何、三角函數(shù)與解三角形、數(shù)列等）一起進(jìn)行綜合考查，側(cè)重考查學(xué)生的綜合能力。在新課改中，更加突出了向量的實(shí)際背景、幾何意義、運(yùn)算功能和應(yīng)用價(jià)值。因此，在新課改條件下的高考中與其他知識(shí)一起進(jìn)行綜合考查更加頻繁，它能很好地考查學(xué)生的應(yīng)用能力、探究能力、創(chuàng)新能力，充分體現(xiàn)新課改精神，深受命題專家青睞。

正因?yàn)橄蛄砍蔀槁?lián)系多項(xiàng)內(nèi)容的橋梁和紐帶，所以高考中常以向量為載體，結(jié)合其它知識(shí)考查，或以向量為工具巧解其它難題，它靈活多變，不能掌握它的技巧，學(xué)生一遇到這樣的題型找不到抓手和解題的支點(diǎn)，從而無處下手。下面就幾個(gè)例題談?wù)動(dòng)嘘P(guān)運(yùn)用向量解題的幾個(gè)技巧。

一、明修棧道，暗度陳倉

例1：設(shè)為拋物線y2=4x的焦點(diǎn)，A、B、C為該拋物線上三點(diǎn)，若■+■+■＝0，則|■|+|■|+|■|=（B）。

A.9 B.6 C.4 D.3

解析：設(shè)F為拋物線y2=4x的焦點(diǎn)，A、B、C為該拋物線上三點(diǎn)，若■+■+■＝0，則F為△ABC的重心，

∴A、B、C三點(diǎn)的橫坐標(biāo)的和為F點(diǎn)橫坐標(biāo)的3倍，即等于3，

∴|FA|+|FB|+|FC|=（xA+1）+（xB+1）+（xC+1）=6，選B。

點(diǎn)評(píng)：注意滿足■+■+■=0，則F為△ABC的重心，表面上是向量的模長(zhǎng)和，實(shí)際為拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離和問題就不難解決了。

二、撥云現(xiàn)日

例2：設(shè)O是平面上一定點(diǎn)，A、B、C是平面上不共線的三點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足O■=OA+λ（■+■），λ∈[0，+∞）則P點(diǎn)的軌跡一定通過△ABC的（B）。

A.外心 B.內(nèi)心 C.重心 D.垂心

解析：因?yàn)椤鍪桥c■同方向的單位向量，所以■+■是兩個(gè)與A■，A■方向相同的單位向量的和，根據(jù)平行四邊形法則可知■+■是菱形的對(duì)角線由O■=OA+λ（■+■），λ∈[0，+∞）知O、A、P三點(diǎn)共線，所以P在∠BAC的平分線上，故選B。

點(diǎn)評(píng)：注意幾何知識(shí)的向量表示形式和向量線性運(yùn)算的本質(zhì)，“撥開云霧”找到解決問題的鑰匙，用平面幾何知識(shí)來解決，“一輪紅日就冉冉升起”。

三、一葉知秋

例3：在直角中，D是斜邊AB上一點(diǎn)，P是CD上一點(diǎn)，且滿足C■＝■（C■+C■），A■=■（A■+A■），則■=（D）。

A.2 B.4 C.5 D. 10

解析：由于對(duì)任意直角三角形只要滿足C■＝■（C■+C■），A■=■（A■+A■）都有所求的值固定不變的性質(zhì)，因此特殊的直角三角形也一定會(huì)滿足這一性質(zhì)，C■＝■（C■+C■），A■=■（A■+A■）表示D為邊AB的中點(diǎn)，P為CD中點(diǎn)，不妨以等腰直角三角形為例，設(shè)腰長(zhǎng)是2a則，|A■|=2■a，|C■|=■a=|A■|，CD⊥AB所以，|C■|=■a，|A■|■=|A■|■+|P■|■=■a■=|B■|■，■=■=10。

點(diǎn)評(píng)：以向量為載體用向量表幾何性質(zhì)的問題先回到幾何問題本身，然后用特殊代替一般使問題簡(jiǎn)化。真是“一葉知秋”呀！

四、移花接木

例4：已知，是原點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)滿足■x-y≤0x-■y+2≥0y≥0。則（1）■的最大值為 ；（2）z=■的取值范圍是 。

解析：（1）由O■＝（3，■），O■＝（x，y），|O■|=2■，

所以■＝■■（y+■x）轉(zhuǎn)化為求y+■x的最大值，故填■。

（2）z=■=■＝｜O■｜c(diǎn)os〈O■，O■〉這就轉(zhuǎn)化為在可行域內(nèi)找一點(diǎn)P使O■，O■的夾角最小和最大，故填[-3，3]。

點(diǎn)評(píng)：本題通過向量的數(shù)量積坐標(biāo)運(yùn)算，（下轉(zhuǎn)第179頁）（上接第164頁）“移花接木”將目標(biāo)轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題解決起來就輕而易舉。

五、偷梁換柱

例5：設(shè)兩個(gè)向量■（λ+2，λ2-cos2α）和■=（m，■+sinα）其中λ，m，α為實(shí)數(shù)。若■＝2■，則■的取值范圍是（A）

A.[-6，1] B.[4，8] C.（-∞，1] D.[-1，6]

解析：由■（λ+2，λ2-cos2α），■=（m，■+sinα），■=2■，

可得λ+2=2mλ2-cos2α=m+2sinα，設(shè)■=k，代入方程組可得

km+2=2mk2m2-cos2α=m+2sinα

消去m化簡(jiǎn)得（■）2-cos2α=■+2sinα，再化簡(jiǎn)得（2+■）2-cos2α+■+-2sinα=0，再令■=t，代入上式得（sin2α-1）2+（16t2+18t+2）=0，可得-（16t2+18t+2）∈[0，4]，解不等式得t∈[-1，-■]。因而-1≤■≤-■，解得-6≤k≤1。故選A。

點(diǎn)評(píng)：本題通過向量坐標(biāo)相等將問題目標(biāo)換成了方程、三角、不等式的計(jì)算，從而達(dá)到解決問題的目的，充分體現(xiàn)了“偷梁換柱”的意義。

六、無中生有

例6：f（x）=■（0≤x≤2π）的取值范圍是（B）。

A.[-■] B.[-1，0] C.[-■，0] D.[-■，0]

解析：原函數(shù)可化為f（x）=■，設(shè)O■=（cosx-1，sinx-1），O■=（0，1）于是f（x）=■而O■表示起點(diǎn)是原點(diǎn)（0，0），終點(diǎn)是的向量，點(diǎn)A（cosx-1，sinx-1）的參數(shù)方程是x=cost-1y=sint-1（t是參數(shù)），即點(diǎn)A在圓（x+1）2+（y+1）2上，因函數(shù)f（x）=■=cos〈O■，O■〉顯然〈O■，O■〉∈[■，π]，從而f（x）∈[-1，0]。

點(diǎn)評(píng)：本題用函數(shù)知識(shí)去做，許多學(xué)生無處下手，只能靠蒙了，關(guān)鍵在巧借向量■=（cosx-1，sinx-1），■=（0，1）搭橋，問題迎刃而解。

總之，向量應(yīng)用廣泛，教師要在平時(shí)教學(xué)中注重培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析和聯(lián)想的能力，以在高考中取得好成績(jī)。