第8個優美不等式的證明

摘 要：筆者利用構造輔助函數及導數方法證明了安振平老師提出的一個不等式問題．

關鍵詞：不等式；輔助函數；導數

安振平老師在《二十六個優美不等式》一文中提出了二十六個優美不等式，尚生陳和鄒生書老師分別解決了其中的第10個和第14個，袁合才與程宏老師聯合解決了其中的第1個、第2個和第15個． 本文將給出第8個優美不等式問題的證明．

■第8個優美不等式問題

已知x，y為正實數，n≥2且n∈N，證明或否定：

■+■≤1．（1）

下面給出不等式（1）的證明．

證明：① 當x=y時，不等式（1）顯然成立．

② 當x≠y時，由對稱性，不妨設x>y>0，令

f（t）=■+■，t∈0，■．

則

f ′（t）=－■■■·■+■■■-1·■=■·■－■=■·■－■=■·■

因為0≤t≤■，所以

（x－t）－（y+t）=2■－t≥0?圯x－t≥y+t，［（2n－1）x+y－（2n－2）t］－［（2n－1）y+x+（2n－2）t］=2（2n－2）■－t≥0?圯（2n－1）x+y－（2n－2）t≥（2n－1）y+x+（2n－2）t．

因為x>y>0，所以x－t>0，y+t>0，（2n－1）x+y－（2n－2）t>0，（2n－1）y+x+（2n－2）t>0．

又n≥2且n∈N，所以1－■≥■>0，■+1>1>0，從而

（x－t）1-■≥（y+t）1-■，?搖?搖?搖?搖?搖?搖?搖?搖?搖?搖?搖?搖?搖?搖（2）

［（2n－1）x+y－（2n－2）t］■+1≥［（2n－1）y+x+（2n－2）t］■+1．?搖（3）

由不等式（2）-（3）可得

（x－t）1-■［（2n－1）x+y－（2n－2）t］■+1≥（y+t）1-■［（2n－1）y+x+（2n－2）t］■+1．?搖?搖 （4）

由不等式（4）可知f ′（t）≥0，所以函數f（t）在區間0，■上單調遞增，從而

f（0）≤f（■）=■+■=■+■=1，

即

■+■≤1．

因而不等式（1）得證．