數學歸納法證明不等式的解題策略芻議

摘 要：數學歸納法重在考查歸納、探索的能力． 近幾年利用數學歸納法證明不等式已成為高考命題的一道亮麗的風景線． 但是，各種參考書或雜志在研究此類問題時，都只談到與n有關的不等式可用數學歸納法證明，并羅列了一些題解的過程，而沒有深入探討：數學歸納法證明不等式的本質是什么？什么時候能用或不能用數學歸納法證明不等式？又如何把一些不能用數學歸納法證明不等式的題，轉化為能用數學歸納法證明？本文擬針對上述三個問題，進行分析研究．

關鍵詞：數學歸納法；不等式；解題策略

近幾年高考注重考查歸納、探索的能力，而用數學歸納法證明數列、不等式已成為高考命題的一道亮麗的風景線． 下面談談利用數學歸納法證明不等式的兩個技巧．

數學歸納法是證明與自然數有關的命題的一種方法，在高考和數學聯賽試卷中體現得特別明顯．其證題程序是：

1. 驗證n取第一個值n0時結論正確；

2. 假設n=k（k∈N*，n≥n0）時結論正確，證明當n=k+1時結論正確．

如果第1和第2兩個步驟都完成了，則可斷定結論對n≥n0的一切正整數都正確．

數學歸納法證明中的兩個步驟體現了遞推思想，它對格式要求嚴格，第一步證明是遞推的基礎，第二步證明是遞推的依據，第二步變形又是證明的關鍵，必須利用假設作為遞推的基礎． 涉及的知識點主要有恒等式、不等式、整除以及幾何的相關知識．

用數學歸納法證明不等式，難點往往出現在由n=k時命題成立推出n=k+1時命題成立這一步． 為完成這步證明，不僅要正確使用歸納假設，還要靈活利用問題的其他條件及相關知識，操作時宜先比較n=k與n=k+1這兩個不等式間的差異，以決定n=k+1時不等式做何種變形． 一般地要變出n=k等式的一邊，然后再利用比較、分析、綜合、放縮及不等式的傳遞性來完成由n=k成立推出n=k+1不等式成立的證明．

從n=k到n=k+1命題的轉化途徑是：

■

要注意：這里的S′（k）不一定是一項，應根據題目情況確定．

下面我們介紹用數學歸納法證明不等式的幾個解題策略：

1. 活用起點的位置：起點前移和起點增多．

（1）起點前移：有些命題對一切大于等于1的正整數n都成立，但命題本身對n=0也成立，而且驗證起來n=1時容易，因此用驗證n=0成立代替驗證n=1． 同理，其他起點也可以前移，只要前移的起點成立且容易驗證就可以． 因而為了便于起步，有意前移起點．

（2）起點增多：有些命題在由n=k向n=k+1跨進時，需要經其他特殊情形作為基礎，此時往往需要補充某些特殊情形，因此需要適當增多起點．

例1 證明：對一切n∈N*，都有2n+2>n2．

分析：當n=1時，不等式顯然成立，按慣例，下一步應設2k+2>k2，再證不等式對n=k+1時也成立，但由于

2k+1+2－（k+1）2=2（2k+2）－k2－2k－3>2×k2－k2－2k－3=（k－1）2－4，如果能有（k－1）2－4≥0，則不等式就成立，而這要有k≥3的條件，因此只好把起點移到n=3，才能利用歸納假設進行推導． 雖然增多了起點，但卻方便了歸納． 因此在證明第一步中，應補充驗證n=2，n=3時，命題成立．

（1）當n=1時，左邊=21+2=4；右邊=1，所以左邊>右邊；

當n=2時，左邊=22+2=6；右邊=22=4，所以左邊>右邊；

當n=3時，左邊=23+2=10；右邊=32=9，所以左邊>右邊；

因此當n=1，2，3時，不等式成立．

（2）假設當n=k時，不等式成立，即2k+2>k2． 因為

2k+1+2=2·2k+2=2（2k+2）－2>2k2－2

=k2+2k+1+k2－2k－3

=k2+2k+1+（k+1）（k－3）（因k≥3，則k－3≥0，k+1>0）

所以2k+1+2>（k+1）2，

故當n=k+1時，原不等式也成立．

根據（1）和（2），原不等式對于任何n∈N*都成立．

小結：在運用數學歸納法證明問題時，關鍵是n=k+1時命題成立的推證，此步證明要具有目標意識，注意與最終要達到的解題目標進行分析比較，以此確定和調控解題的方向，使差異逐步減小，最終實現目標． 通過例1可知，在證明n=k+1時命題成立過程中，針對目標k2+2k+1，采用縮小的手段，但是由于k的取值范圍（k≥1）太大，不便于縮小，因此，用增加奠基步驟（把驗證n=1擴大到驗證n=1，2，3）的方法，使假設中k的取值范圍適當縮小到k≥3，促使放縮成功，達到目的．

2. 瞄準當n=k+1時的遞推目標，有目的地進行合理放縮、分析．

例2 設an=■+■+……+■（n∈N*），

證明：■n（n+1）

分析：該不等式與自然數n有關，考慮用數學歸納法證明．n=1時容易證得，?搖 n=k+1時，因為ak+1=ak+■，所以在假設n=k時成立得到的不等式中同時加上■，再與目標比較而進行適當的放縮求解．

①當n=1時，a1=■，■n（n+1）=1，■（n+1）2=2，易知1<■<2，所以n=1?搖?搖時不等式成立．

②假設當n=k時不等式成立，即■·k（k+1）

當n=k+1時，■k（k+1）+■

■k（k+1）+■>■k·（k+1）+（k+1）=■（k+1）（k+2），

■（k+1）2+■=■（k+1）2+■<■（k+1）2+k+■=■·（k+2）2，所以■k（k+1）

綜合①②知，對所有的n∈N*，不等式■n（n+1）

小結：用數學歸納法解決與自然數有關的不等式問題，有一定的步驟要求，為“程序式的機械運算”，但也要注意適當選用放縮法，如本題中將■縮小成k+1，將■放大成k+■的兩步放縮是證n=k+1時不等式成立的關鍵． 為什么這樣放縮，而不放大成k+2，這是與目標比較后的要求，也是遵循放縮要適當的原則．

3. 合理引入過渡不等式，架橋鋪路，平穩過渡．

當“假設不等式”直接向“目標不等式”過渡有困難時，可以先尋求一個介于“假設不等式”和“目標不等式”之間的“中途不等式”，通過對“中途不等式”的證明，實現由“假設不等式”到“目標不等式”的平穩過渡，而這個“中途不等式”僅起到橋梁的作用．

例3 求證：1+■+■+……+■<2 （n≥1且n∈N*）．

分析：若設n=k時不等式成立，即1+■+■+…+■<2，則有1+■+■+…+■+■<2+■，無法推出n=k+1時命題成立，由此，聯想到到證明一個更一般的加強命題：若n≥2，則1+■+■+……+■<2－■．

證明：當n=2時，1+■<2－■，結論成立．

假設當n=k時結論成立，即1+■+■+……+■<2－■，

則當n=k+1時，

1+■+■+……+■+■<2－■+■=2－■<2－■=2－■，

即當n=k+1時結論成立．

由數學歸納法得對一切n≥2，不等式1+■+■+……+■<2－■<2成立，又當n=1時，原不等式顯然成立．

從而1+■+■+……+■<2（n≥1且n∈N*）得證．

小結：一般的命題，提供了更強的歸納假設，因而運用數學歸納法證明反而會更容易． 因而“主動加強命題”確是一項值得深思的技巧． 對于一邊是常數的數列不等式，在用數學歸納法直接證明時，歸納過渡往往有一定的困難，若能利用不等式的傳遞性、可加性等性質，通過強化命題、放縮常數等技巧，?？身樌瓿蓺w納過渡． 本題在由n=k到n=k+1時的推證過程中，（1）一定要注意分析清楚命題的結構特征，即由n=k到n=k+1時不等式左端項數的增減情況，（2）應用了放縮技巧．

本題的關鍵是通過分析找到加強以后的不等式． 類似地當一個問題不能全部解決時，可弱化命題，以退求進先解決其中的一部分，如先證明對部分的正整數命題成立，再把結論推廣到一般情況——命題對于全體正整數成立．

從優化解題過程，提高解題效率的角度來看，對具體問題可以簡化甚至于可以避免，所以我們面對問題先要細心觀察，然后敢于聯想，從而發現重要關系為解決問題開辟道路． 用數學歸納法證明不等式是個很好的工具，我們要用好這個工具．